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記事No.85708に関するスレッドです
★ 数学 I I軌跡の質問 / ユミ
kを実数とする。kが全ての実数を動くとき、
x^2+y^2− 2kx-2x−4ky−4y+ 10k+5 = 0の描く軌跡を求めよ。

宜しくお願い致します。
No.85698 - 2023/07/02(Sun) 14:38:08
☆ Re: 数学 I I軌跡の質問 / 関数電卓
　x^2＋y^2−2kx−2x−4ky−4y＋10k＋5＝0 …(1)
変形して
　(x−(k＋1))^2＋(y−2(k＋1))^2＝5k^2 …(2)
(2)は
　中心 (k＋1,2(k＋1), 半径 (√5)k の円群
だから
個々の k に対する (x, y) の軌跡は下図。
全ての k に対して(1)(2)が成り立つのは 点 (1, 2) のみ。
No.85708 - 2023/07/02(Sun) 21:37:00
☆ Re: 数学 I I軌跡の質問 / らすかる
各kに対する軌跡は関数電卓さんが書かれたような図形になりますので、
「kが全ての実数を動くときのx^2+y^2-2kx-2x-4ky-4y+10k+5=0の描く軌跡」
は
「xy平面全体から直線x+2y=5を除き点(1,2)を加えた領域」
になると思います。
No.85712 - 2023/07/03(Mon) 00:02:12
☆ Re: 数学 I I軌跡の質問 / ユミ
関数電卓様、らすかる様、返答ありがとうございます。

私は、kについて整理し、kのとり得る値で場合分けをして、(x,y)の満たす条件を調べるという逆像法で求めようとしてみました。
(i) k=0 のとき、(x,y)=(1,2)
(ii) k>0 のとき、・・・　ｘ＋2ｙ＞5
(iii) k<0 のとき、・・・　ｘ＋2ｙ＜5
　みたいな流れで場合分けしたら、らすかるさんの解が得られるのですが、この考えであってますか。
　他に、別解や注意すべき着目点があったらアドバイス頂けると有難いです。
No.85715 - 2023/07/03(Mon) 00:27:25
☆ Re: 数学 I I軌跡の質問 / 黄桃
この問題の場合、逆像法だと、
f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5,
g(x,y)=2x+4y-10
とおけば、x,yを固定した時kについての1次方程式
f(x,y)=g(x,y)k
が解を持つ条件、となります。
この問題では、f(x,y)≧0なので、kが0かどうかで場合分けしてもいいですが、
f(x,y)≧0 とは限らない場合にも使える方法、つまり
g(x,y)=0 かどうか、
で場合分けをして
g(x,y)≠0 の時は、(k=f(x,y)/g(x,y) と求まるので）x,yは何でもよい(つまり、直線　x+2y=5 上にないすべての(x,y)はOK)
g(x,y)=0 の時は f(x,y)=0　（つまり、x+2y=5 かつx^2+y^2-2x-4y+5=0 をみたす(x,y)はOK)f
の2つを合わせて答とする方が簡単でしょう。
No.85716 - 2023/07/03(Mon) 08:50:50