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記事No.85745に関するスレッドです
★ (No Subject) / r
x^2+y^2=4の微分です
関数=関数の両辺を微分するのはわかります。この場合はなぜ両辺を微分できるのでしょうか。何が起きてるのかわかりません。
No.85745 - 2023/07/06(Thu) 12:53:37
☆ Re: / ast
> 関数=関数の両辺を微分するのはわかります
というのが本当なのであれば,
　「"任意の x に対して f(x)=4 となる定数函数 f=f(x)" および x,y=y(x) に関する等式
　　　x^2+y^2=f
　の両辺を x で微分する」
ことに何らかの疑問があるとは考えにくいのですが, 何がそんなに引っかかりますか?
No.85747 - 2023/07/06(Thu) 16:27:31
☆ Re: / r
y(x)　とはどういうことでしょうか。
No.85753 - 2023/07/06(Thu) 20:28:41
☆ Re: / ast
「どういうこと」ってのがどういうことか分からないんだけど, じゃあ
　「"任意の x に対して f(x)=4 となる定数函数 f(x)" および x,y=g(x) に関する等式
　　　x^2+g(x)^2=f(x)
　の両辺を x で微分する」
に訂正しておく (とりあえず, いわゆる「記号の濫用」を避けた形にしておいたけれど, べつにそれはもとが間違ってるという意味ではない).
# もし「全然意図と違う (記号の濫用くらいわかる!)」てのならもうちょっと明確に.
No.85754 - 2023/07/06(Thu) 21:40:11
☆ 陰関数の微分 / 黄桃
別の考え方を示しておきましょうか。
以下の2つのことを考えてみてください。

その1
y=2x+1 という関数を
y-2x-1=0　 や y-1=2x
と書き換えて、両辺をxで微分してはいけないのでしょうか。
いけないならなぜでしょうか。

その2
x^2+y^2=4
y^2=4-x^2
y=±√(4-x^2)
以上のうち、両辺をxで微分してはいけないものがあるのでしょうか。
あるならなぜでしょうか。

＃x^2+y^2=4 におけるyは、この方程式で定まるxの関数
＃ということが理解できてないように思います。
＃xを決めればこの方程式を解いてyが決まります。
＃この場合は2つのyが決まりますが、どちらでも構いません。
＃解けばy=±√(4-x^2) となるから、２つの関数をまとめて書いた形です。
＃このように方程式で定義される関数を陰関数と呼びます。
＃そして元の方程式は関数として等しい、という意味にもなります。
No.85756 - 2023/07/07(Fri) 07:31:39
☆ Re: / r
x^2という関数とg(x)^2という合成関数を足した合成関数ということでしょうか。
No.85760 - 2023/07/07(Fri) 13:13:11
☆ Re: / r
ではなぜ2x=4の両辺は微分できないのでしょうか。2=0になっちゃうので。2xという関数とg(x)=0という関数ととらえると両辺が関数になると思うのですが。
No.85761 - 2023/07/07(Fri) 13:30:40
☆ Re: / GandB
> ではなぜ2x=4の両辺は微分できないのでしょうか。

　何を言っているのかさっぱりわからんwwwwwwwwwwww

　　2x = 4 ……(*)
という等式について
　　左辺を f(x) = 2x (x の１次関数)
　　右辺を g(x) = 4　(x の定数関数)
と見なした場合、(*)を満たすのは、つまり
　　f(x) = g(x)
が成り立つのは x = 2 のときだけで、それ以外の x では
　　f(x) ≠ g(x)
なのだから(*)の両辺を微分することに何の意味もない。当たり前のことだが、xの全域にわたって常に
　　f'(x) ≠ g'(x)
No.85764 - 2023/07/07(Fri) 20:10:56
☆ Re: / 黄桃
結局のところ、関数として等しい、ということが理解できていないようです。

> 関数=関数
は、この文脈では関数として等しい、という意味であって、二つの関数のグラフが交わる、という意味ではありません。

> 方程式で定まるxの関数
も理解できてないようなので、もう少し説明します。これでわからなければ私の力の及ぶところではありません。

x^2+g(x)^2=4 でも x^2+y^2=4 でも書き方はなんでもいいですが、x^2+g(x)^2=4 に決めておきましょうか。
g(x)はこの方程式とは別に与えらえたxの関数ではなく、「この方程式で定まる」関数です。

x=0ならg(x)=±2, x=1 ならg(x)=±√3 等々、
xの値を決めるとyの値が１つだけ決まるわけではないので、厳密には関数ではないですが、
(x,g(x))のペアをプロットしていけば、グラフが書け、そのグラフのうち、
g(0)=2 というようにプラスの解だけ選べば g(x)=√(4-x^2)という関数で、
g(0)=-2 のようにマイナスの解を選べばg(x)=-√(4-x^2)という関数になってます。

だから、この関係をみたす (x,g(x))の組は（±どちらでも)必ず x^2+g(x)^2=4 という方程式を満たします。
別のいい方をすれば、関数として等しい、とは、定義域のどんなxを代入しても等しい、ということになります。

>2x=4
という方程式にはxだけしか変数はありません。xにどんな値を代入しても等号が成立するなら関数として等しいですが、そうではありません。
だから、これは関数として等しい、というわけではありません。
もちろん、定義域をx=2 だけに限定すれば正しいですが、それでは今度は微分が考えられません。
No.85766 - 2023/07/08(Sat) 00:08:24
☆ Re: / r
yがこの方程式で定まる関数だということはわかりました。左辺はx^2+y^2ですが、(x^2+y^2)'ということはx^2+y^2を一つの合成関数として微分しているということですよね。
No.85768 - 2023/07/08(Sat) 12:11:59
☆ Re: / 黄桃
>x^2+y^2を一つの合成関数
y^2は合成関数(y=f(x)とh(x)=x^2として、h(f(x)))ですが、x^2+y^2全体は一つの合成関数というよりは、2つの関数の和（そのうち１つは合成関数）でしょうか。

いずれにせよ、x^2+y^2 全体として１つのxの関数、として微分しているのは間違いありません。
No.85773 - 2023/07/09(Sun) 11:22:48
☆ Re: / r
ありがとうございました
No.85778 - 2023/07/10(Mon) 10:28:18