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記事No.85758に関するスレッドです
★ 漸化式 / ぴーたろ
漸化式ガチャで出てきた問題なのですが、問題を検索したところURLのサイト（ツイッター）が出てきました。答えは√2になるそうなのですが、高校数学（B）まで（?VCはまだ）の段階では解くことは難しい問題でしょうか？
No.85758 - 2023/07/07(Fri) 13:08:43
☆ Re: 漸化式 / ぴーたろ
URLは
https://twitter.com/A43B1PXh21Gx034/status/1528382112599945216
です
No.85759 - 2023/07/07(Fri) 13:09:27
☆ Re: 漸化式 / らすかる
漸化式を解く問題ですから、答えは数列の一般項であり「答えは√2」にはなりません。
元記事にも「答えは√2」ではなく「極限は√2」と書かれていますね。
で、「高校数学(B)」の学習内容がわかりませんのでその範囲内かどうかはわかりませんが、
式を適当にこねくり回せば
a[n+1]={(a[n])^2+2}/(2a[n])
2a[n+1]={(a[n])^2+2}/a[n]
2a[n+1]+2√2={(a[n])^2+2}/a[n]+2√2
2a[n+1]+2√2={(a[n])^2+(2√2)a[n]+2}/a[n]
2(a[n+1]+√2)=(a[n]+√2)^2/a[n]
b[n]=a[n]+√2とおくとb[1]=2+√2であり
2b[n+1]=(b[n])^2/(b[n]-√2)
1/(2b[n+1])=(b[n]-√2)/(b[n])^2
(1/2){1/b[n+1]}=1/b[n]-√2/(b[n])^2
c[n]=1/b[n]とおくとc[1]=1/(2+√2)=1-1/√2であり
(1/2)c[n+1]=c[n]-(√2)(c[n])^2
c[n+1]=-(2√2){(c[n])^2-(1/√2)c[n]}
c[n+1]-1/(2√2)=-(2√2){(c[n])^2-(1/√2)c[n]}-1/(2√2)
c[n+1]-1/(2√2)=-(2√2){(c[n])^2-(1/√2)c[n]+1/8}
c[n+1]-1/(2√2)=-(2√2){c[n]-1/(2√2)}^2
d[n]=c[n]-1/(2√2)とおくとd[1]=1-1/√2-1/(2√2)=1-3/(2√2)であり
d[n+1]=-(2√2)(d[n])^2
よって
d[n]=(-2√2)^(2^(n-1)-1)・d[1]^(2^(n-1))
={-(2√2)d[1]}^(2^(n-1))/(-2√2)
={-(2√2)(1-3/(2√2)))^(2^(n-1))/(-2√2)
=-(3-2√2)^(2^(n-1))/(2√2)
となるので
c[n]=d[n]+1/(2√2)={1-(3-2√2)^(2^(n-1))}/(2√2)
b[n]=1/c[n]=(2√2)/{1-(3-2√2)^(2^(n-1))}
∴a[n]=b[n]-√2=(2√2)/{1-(3-2√2)^(2^(n-1))}-√2=(2√2)/{1-(√2-1)^(2^n)}-√2
のように解けます。
No.85765 - 2023/07/07(Fri) 20:59:50
☆ Re: 漸化式 / IT
「数列a[n]は、収束し極限は√2である」を示すだけなら、もう少し楽に出来ますね。

大学数学だと、「有界な単調（増加・減少）数列は収束する」という定理を使います。
高校数学３の範囲では、厳密性は欠きますが
　y=((x^2)+2)/(2x)とy=xのグラフを使って示すことになると思います。
No.85767 - 2023/07/08(Sat) 08:39:39