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記事No.85789に関するスレッドです
★ 微分方程式 / あ
変数分離形の微分方程式x'=(x^2-1)/tの解を求める問題なのですが、dx/(x^2-1)=(1/t)dtからどのようにして求めていけば良いのかが分かりません。どなたがご回答お願いします。答えがx=1+ct^2(x+1) , x=-1であることは分かっています。
No.85782 - 2023/07/10(Mon) 16:13:34
☆ Re: 微分方程式 / GandB
> x=1+ct^2(x+1) , x=-1であることは分かっています。
　へ？

　　x = -(Ct^2+1)/(Ct^2-1)

になったけど。
　　dx/dt = (x^2-1)/t
　　1/(x^2-1) dx = 1/t dt
　　∫1/(x^2-1) dx = ∫1/t dt

　左辺の積分は部分分数分解で

　　1/(x^2-1) = (1/2)(1/(x-1)-1/(x+1)

とすれば簡単に積分できる。
No.85783 - 2023/07/10(Mon) 17:51:04
☆ Re: 微分方程式 / あ
これ教科書に出てくる問題でして、そこの答えのところにはこの答えが載っていたのですが......。そこには答えしか載っておらず、解き方がイマイチ思い浮かばなかったので質問させて頂いたのですが、解き方によって答えが変わるなんてことあるんでしょうか。
No.85784 - 2023/07/10(Mon) 18:43:05
☆ Re: 微分方程式 / GandB
　私が示した解は

　　dx/dt = (x^2-1)/t

の一般解である。特殊解なら初期条件によって積分定数 C が定まる。しかし、特殊解としても

　　x=1+ct^2(x+1)

は明らかにおかしい。積分定数が含まれているし、右辺には x が含まれている。なので

> これ教科書に出てくる問題でして、そこの答えのところにはこの答えが載っていた

とは信じ難い。誤植としてもひどい（笑）。問題と解答をスキャンしてアップしてくれたらありがたい。
No.85785 - 2023/07/10(Mon) 19:01:49
☆ Re: 微分方程式 / あ
これが問題で
No.85786 - 2023/07/10(Mon) 19:34:34
☆ Re: 微分方程式 / あ
これが解答です
No.85787 - 2023/07/10(Mon) 19:35:20
☆ Re: 微分方程式 / あ
すみません。添付出来ていませんでした
No.85788 - 2023/07/10(Mon) 19:36:16
☆ Re: 微分方程式 / GandB
　へーーーーー！
　あの、問題も 第2章の問題2.1 なんですよね（笑）。

　どういうことだろう？

　私の手に余るので他の方の回答を待ちましょう(^O^)。
No.85789 - 2023/07/10(Mon) 20:01:40
☆ Re: 微分方程式 / あ
第2章の問題2.1で間違いないです笑
No.85790 - 2023/07/10(Mon) 20:16:19
☆ Re: 微分方程式 / ast
どこから続けてもいいけど, たとえば
　log((x-1)/(x+1))= 2log(t) + C
のところから (右辺)=log(c t^2) (c は C=:e^c となる c) として
　(x-1)/(x+1) = c t^2
の分母を払って 1 を右辺に移項したら解答の式になる. あるいは最後の
x = -(Ct^2+1)/(Ct^2-1)
からなら, これを C について解いた式が (x-1)/(t^2(x+1)) だから以下同じ.

結局, 最初の方程式が
　d[log((x-1)/(t^2(x+1)))]/dt=0
という完全形の微分方程式だということが確認できるということにはなるかな.
# これ実際に微分してみたら, 積分因子として 1/(t(x^2-1)) を掛けた
# dx/(x^2-1)-dt/t=0 を考えるので, 本質的には変数分離形として解いたのと同じとわかる.
## まあそもそも変数分離して解いた結果から逆に探してるので当然ではあるかもしれないが.

個人的には微分方程式を解けと言っておいて x,t の陰伏的な関係式を答えにするのは完全に気に入らないが.
# とりあえず見える範囲の問題をいくつか適当に検算した (WolframAlphaにしてもらった) ら
# 解答は基本的に合ってるみたい.
No.85791 - 2023/07/10(Mon) 22:06:47
☆ Re: 微分方程式 / あ
これってこの解答例みたいなややこしい式じゃなくて、GandBさんが示してくれたような解答でも問題は無いんですよね？
No.85794 - 2023/07/11(Tue) 00:28:47
☆ Re: 微分方程式 / ast
そうですね. ふつうは陽に表すのが容易な場合はその本の解答みたいなのはアウトという認識でいいと個人的には思います.
# まあ例えば y=±√(a^2-x^2) と x^2+y^2=a^2 のどっちがいいかみたいなところだと
# 微妙に迷うが…… (何らかの「標準形」があるものの場合はふつうそっちを使うし).

あと任意定数の扱いですが, GandB氏の答案でも e^C を改めて C と書いたりと言った「記号の濫用」はあるので取りうる値が任意の実数ではない可能性をちゃんとしないと厳密には正しくなりません (というか氏の答案は "=" で結んじゃいけないところを "=" で結んで e^C=C という意味の式にしてしまっているのでこの点についてはダメだと思います).
ちゃんと考えると置き換えもとは "±e^C (C は任意の実数)" で, 置き換え後は "C は C≠0 なる任意の実数" だと思いますが, しかし C=0,∞ に対応する定数函数 x=±1 も実際にはもとの方程式の解なので, そういったことも取りまとめるには (全体を通じて) 述べ方に工夫が要ると思います (まあ結局本の解答のように x=1 は任意定数に C=0 として組み込んで, x=-1 を別に書くというのが無難なのかな).
# ま, 枝葉末節に拘っても仕方がないとは思うけれども.
No.85803 - 2023/07/11(Tue) 17:44:12
☆ Re: 微分方程式 / あ
ありがとうございました
No.85806 - 2023/07/11(Tue) 18:51:16