[ 掲示板に戻る ]
記事No.85931に関するスレッドです
★ 相加平均相乗平均です / りお
相加平均相乗平均の証明について
n＝kー1の時、なぜakの式がこうなるのかわかりません
No.85931 - 2023/07/21(Fri) 08:28:35
☆ Re: 相加平均相乗平均です / りお
akはakー1の誤りでしょうか？
No.85932 - 2023/07/21(Fri) 08:30:21
☆ Re: 相加平均相乗平均です / nacky
ak をそのように置いてその前の仮定を用いると n=k-1 の場合が証明できるということです。

仮定では k 個の正の整数 a1,a2,...,ak に対して

(a1+a2+...+ak)/k>=(a1a2...ak)^(1/k)

が成り立つことを仮定しています。ここで ak は正の数なら何でもいいので

ak=(a1+a2+...+a[k-1])/(k-1)

を代入すると n=k-1 のときの相加平均と相乗平均の関係が出てくるということです。

その前の(a)のところでは n=2 の場合の相加平均と相乗平均の関係が成り立つのでそれを (a1+a2+...+ak)/k と (a[k+1]+a[k+2]+...+a[2k])/k に使っていますね。それと同じようなことをしています。
No.85933 - 2023/07/21(Fri) 08:59:57
☆ Re: 相加平均相乗平均です / りお
ak＝a1＋a2＋…ak /kではないのでしょうか？
No.85934 - 2023/07/21(Fri) 09:27:45
☆ Re: 相加平均相乗平均です / りお
akの部分がak−1ではないのはなぜでしょうか？
No.85935 - 2023/07/21(Fri) 09:30:47
☆ Re: 相加平均相乗平均です / りお
本来はak−1＝a1＋a2‥ak−1/kー1だが、あえてak＝a1＋a2‥ak−1/kー1と置いたということでしょうか？
No.85936 - 2023/07/21(Fri) 10:13:46
☆ Re: 相加平均相乗平均です / ast
違います ("本来" も "敢えて" も間違い).
(b) は k-1 個の数 a[1],…,a[k-1] に対する関係式 (☆) を示す場面なので a[1],…,a[k-1] だけが (自由な値をとる) 既知の数であることに留意すべきです.
## 何が仮定 (既知のもの) で何が結論 (証明すべきもの) なのかちゃんと区別できないと
## (とくに数学的帰納法では仮定と結論がよく似た形をしているので) まともに議論を追うことは
## できないと思いますよ.

それで上の方も仰っている通り, そこに新たな数 a[k] を (既知の a[1],…,a[k-1] から与えられる新しい値を持つものとして) 加えて考えるとき, "k 個の数 a_1,…,a[k-1], a[k] に対する関係式 (☆) は既知" と仮定しているので, それら k 個の数に対してはその仮定を適用できる, という話です.
だから, 左辺が a[k], 右辺には a[1],…,a[k-1] (と k-1) だけが現れているのは必然で, それ自体が「本来」あるべきもので, まったく「敢えて」などではないことがわかるはずです.
# 結局「新たな数 a[k] を a_1,…,a[k-1] から与えられる新しい値を持つものとして加え」るときに
# 証明に都合がいい値がたまたま (a[1]+…+a[k-1])/(k-1) だったのでそれを a[k] と書いたというだけ
## むしろ a[k] などと書かないで "a[1],…,a[k-1],(a[1]+…+a[k-1])/(k-1) に対し" と述べたほうが
## (それで初学者が混乱しないというのであれば) 適切とまで言い切ってもいい可能性すらある.
No.85938 - 2023/07/21(Fri) 13:03:02
☆ Re: 相加平均相乗平均です / 黄桃
普通の？数学的帰納法と異なり、行き過ぎて戻る、という証明の構造を理解できてないのでしょう。

証明が分かりにくい場合は、具体的な値を代入してどうなるか考えた方がいいです。
この場合であれば、n=3 の場合はどうなるのだろう？と当てはめてみることです。

(b)にn=3の場合を考えれば、k=4 であり、(b)はk=4 の場合から n=k-1=3 の場合を示しているとなります。
なので、ak=a4=(a1+a2+a3)/3 で間違いありません。
では k=4の場合は（n=3の場合を示してないのに）なぜ正しいといえるかといえば、
n=4の場合は(a)により(n=4=2k, k=2。k=2の場合は証明済)示しているのです。

n=3 より大きな4の場合に先に証明しているのがポイントです。

では、n=2,3,4が正しい時、n=5 の場合はどういえるか、も考えてみましょう。
いろんな見方ができますが、例えば、n=4 の場合から(a)によりn=8 の場合が言えて、(b)により、n=8の場合からn=7の場合がいえます。
n=7がいえると(b)によりn=6 の場合が言えて、n=6がいえると(b)により n=5 の場合もいえる、ということです。
あるいは、n=3が言えたのであれば、(a)よりn=6の場合も言えて、(b)によりn=6が正しいのでn=5も正しい、といえる、といってもいいです。

一般のn の場合も同様で、道のりはいろいろありますが、例えば、次のような仕掛けになっています：
1. (a)により、k>1 の場合に正しければ、2k(>k) の場合にも正しいので k=2の場合から(a)を繰り返せば、いつかはnより大きな数mで正しいといえる
2. nより大きな場合の m について正しいといえれば、(b)を繰り返すと m,m-1,m-2,... についても正しいといえるので、nの場合にも正しい
だから、(a),(b)を示せばすべての自然数nについていえたことになる。
No.85950 - 2023/07/22(Sat) 07:39:40