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記事No.85943に関するスレッドです
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大学 微分方程式 ラプラス変換
/ もみじ
引用
こんばんは、理系大学3年です。
ラプラス変換を習ってないのに課題に出てしまい、困っています。どうかよろしくお願いします。ネットの解説見ながら私なりにあがいたものもお乗せいたします。
講義の資料は以下のとおりです。
https://60.gigafile.nu/0726-cf9a3d0d5c60d51832e2f6093c4e24dc1
No.85943 - 2023/07/21(Fri) 21:23:22
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Re: 大学 微分方程式 ラプラス変換
/ もみじ
引用
こちらが私なりにあがいた答案になります。
No.85944 - 2023/07/21(Fri) 21:25:03
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Re: 大学 微分方程式 ラプラス変換
/ X
引用
α(t),β(t)のラプラス変換をそれぞれA(s),B(s)とすると、
(2)(3)から
sA(s)=b{a/s-A(s)} (2)'
sB(s)=b{A(s)-B(s)} (3)'
(2)'から
A(s)=ab/{s(s+b)}
これを(3)'に代入して
(s+b)B(s)=(ab^2)/{s(s+b)}
∴B(s)=(ab^2)/{s(s+b)^2} (4)
(4)を部分分数分解して
B(s)=X/s+Y/(s+b)+Z/(s+b)^2
(X,Y,Zは定数)
となったとすると
B(s)={X(s+b)^2+Ys(s+b)+sZ}/{s(s+b)^2}
B(s)={(X+Y)s^2+(2bX+bY+Z)s+Xb^2}/{s(s+b)^2} (4)'
(4)(4)'の係数を比較して
X+Y=0 (A)
2bX+bY+Z=0 (B)
Xb^2=ab^2 (C)
(A)(B)(C)を連立して解き
(X,Y,Z)=(a,-a,-ab)
∴B(s)=a/s-a/(s+b)+ab^2/(s+b)^2
これの逆ラプラス変換を取ると
β(t)=a-ae^(-bt)+(ab^2){e^(-bt)}*e^(-bt)
(但し、*は合成積)
ここで
{e^(-bt)}*e^(-bt)=∫[τ:0→t]{e^(-bτ)}{e^{-b(t-τ)}}dτ
=te^(-bt)
よって
β(t)=a-ae^(-bt)+(ab^2)te^(-bt)
No.85945 - 2023/07/21(Fri) 23:08:53
