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記事No.86078に関するスレッドです
★ 無限連番数がよくわからなくて... / ゴンさん
教えて欲しいです。お願い致します
No.86078 - 2023/07/30(Sun) 19:39:27
☆ Re: 無限連番数がよくわからなくて... / X
(1)
右辺の連分数をAとすると
A=1+1/A
これより
A^2-A-1=0 (A)
条件よりA＞0に注意して(A)に解の公式を適用すると
A=(1+√5)/2

(2)
求める連分数に対し、ある実数aについて
√3=a+1/√3
これより
a=2/√3
∴√3=2/√3+1/{2/√3+1/(2/√3+…)}
No.86080 - 2023/07/30(Sun) 20:48:23
☆ Re: 無限連番数がよくわからなくて... / らすかる
(2)
1＜√3＜2 → 整数部は 1
0＜√3-1＜1 ← 小数部
1/(√3-1)=(√3+1)/2 ← 逆数をとる
1＜(√3+1)/2＜2 → 整数部は 1
0＜(√3-1)/2＜1 ← 小数部
1/{(√3-1)/2}=√3+1 ← 逆数をとる
2＜√3+1＜3 → 整数部は 2
0＜√3-1＜1 ← 小数部
これは既出で以降繰り返しなので、連分数表現は
1;1,2,1,2,1,2,…
すなわち
1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(2+1/…
のようになります。
(確認)
1/(1+1/(2+1/(1+1/(2+1/…=xとおくと
x=1/(1+1/(2+x))
これより x=√3-1なので
1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(2+1/… = √3

＞Xさん
「自然数による無限連分数」と書かれていますね。
No.86081 - 2023/07/31(Mon) 03:22:36
☆ Re: 無限連番数がよくわからなくて... / X
＞＞らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞ゴンさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。
No.86082 - 2023/07/31(Mon) 05:17:38