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記事No.86138に関するスレッドです
★ 楕円での領域における最大最小 / 高3の数Ⅲ
例題の(3)の解?Tについての質問です。
2点あります。

・1つ目
(3)6行目の判別式についてです。
?@?Aの式からy1を消去してkを求めていくのは分かるのですが、判別式が≧0なのが分かりません。
問題設定より、直線はPにおける接線なのだから、判別式=0ではないのでしょうか？
また、判別式=0でk=±2√2とだして、後の条件2<kと合わせて、k=2√2として答えを出すのは間違いなのでしょうか？

・2つ目
そもそも、(3)はSの最大値を求める問題なのに、(1)のx1+2y1=kを前提に解いている点が不明です。
なぜ傾きが-1/2の直線のときに最大を取る前提で問題を解いているのでしょうか？
面積Sの問題設定上であれば、Pの位置によって傾きが-1/2以外の直線と作られたときに最大を取る可能性もあるのではないでしょうか？

上記2点がわかりません。
もともと数?Uの領域あたりが苦手なので、意味不明な質問をしているかもしれませんが、答えていただけると幸いです。
よろしくお願いいたします。
No.86138 - 2023/08/05(Sat) 16:48:19
☆ Re: 楕円での領域における最大最小 / 黄桃
>・2つ目
>そもそも、(3)はSの最大値を求める問題なのに、(1)のx1+2y1=kを前提に解いている点が不明です。

これがこの解法のミソ（うまいところ）です。Sを表す式にx1,y1と変数が２つあると扱いが難しいですが、これを１つの変数kだけであらわすことができれば簡単になります。
(2)の答から、Sを最大にするには、kを最大にすればいい、と分かったのです。なので、

>なぜ傾きが-1/2の直線のときに最大を取る前提で問題を解いているのでしょうか？

ではなくて、x1+2y1が取りうる値がわかれば、Sの最大がわかるのです。

＃なぜ傾きが-1/2の直線を考えたのか、というのであれば、
＃こうするとSをkだけの式で表せるからです。

残った問題は、x1+2y1 はどんな値を取りうるのか？を決めることです。

例えば、x1+2y1=0 となりうるか？　これは無理、なぜなら、x1>0,y1>0だから、x1+2y1>0だから。
では、x1+2y1=10 となりうるか？
これは y1=(10-x1)/2 だから、だ円の式に代入して(x1)^2/4+(10-x1)^2/4=1 となるx1があるか？となって、これは x1^2-10x1+48=0 という2次方程式になります。
これがx1>0の解をもつかどうかですが、そもそも判別式が D/4=5^2-48=-23<0 だから解をもちません。
それでは x1+2y1=3 となるのかどうか…とかんがえていくとキリがないので、「じゃあ、この値を仮にkと置いて、まとめて考えよう」ということです。

以上を踏まえて、１つめ
>Aの式からy1を消去してkを求めていくのは分かる
は誤解です。
kを与えて、それを満たす x1,y1があるかどうか考えているのです。もし見つかれば、そのkは取りうる値だし、見つからなければ、取りえない値です。

y1を消去したのだから、残ったのはx1で、そのx1を変数とする2次方程式が出てきたので、その判別式Dの D/4 を考えているのです。

もちろん、おっしゃるように、(3)はkの最大値を求めれば十分なので、図形的考察より、kが最大になるのは、だ円に接する時だから、D=0 より k=2√2 の時、といってもいいです。この解答がそうなってないだけで、きちんと説明すればそれも正解です。

このような遠回りに見える解答例にしたのは、おそらく、このkの範囲を求める考え方は、軌跡を求める問題などにも使われるのでその練習も兼ねているのでしょう。
No.86144 - 2023/08/05(Sat) 22:08:13