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記事No.86152に関するスレッドです
★ 図形に内接する円の円周と面積 / takesy
長辺の長さを2、短辺の長さを√2とする長方形2つを長辺が交差し1つの対角が重なるように重ねた図形の、長辺の交点を結んだ直線を直径とする図形に内接する正円の円周と面積を、図形に外接する正円の円周と面積に対する比、長方形の3辺に内接する正円の円周と面積に対する比で表せ
という問題を考えてみました。これに関連する定理などもあれば教えてください。
No.86114 - 2023/08/04(Fri) 14:25:31
☆ Re: 図形に内接する円の円周と面積 / らすかる
「1つの対角」は「1組の対角」という意味ですか？

「…を直径とする『図形』」が何を指すのかわかりません。
忖度して考えると、通常は「…を直径とする」のは「円」ですから
「…を直径とする図形」は「…を直径とする円」と推測されます。
しかしそう考えると「…を直径とする円に内接する正円」という
意味不明なことになってしまいます。
あと、「直線」は無限に長いまっすぐな線ですから、
「直線」を直径とするのは不可能です。

「図形に外接する正円」の「図形」は何を指しているのかわかりません。
図形はたくさん考えられますので忖度しようにも全くわかりません。
もし「図形」と書かれているものがすべて同じ「全体の図形」を
指しているのであれば、全部「図形A」のように特定できるような記号を
付けた方が良いと思います。

「円周と面積に対する比」を求めるようになっていますが、
円周の比がaなら面積の比はa^2なのでどちらか一つで十分では？
No.86116 - 2023/08/04(Fri) 15:30:15
☆ Re: 図形に内接する円の円周と面積 / takesy
文章がわかりにくくてすみません。こんなイメージです
No.86117 - 2023/08/04(Fri) 15:51:48
☆ Re: 図形に内接する円の円周と面積 / らすかる
定理とかわかりませんが、
最小の円を基準とする比ならば
最小の円の直径が√2、赤い円の直径が√3、最大の円の直径が√6なので
円周比は√2：√3：√6、面積比は2：3：6になりますね。

一般には長方形の長辺がa、短辺がbのとき
(最小の円の直径)=b
(赤い円の直径)=(長方形の対角線)×(b/a)=(b/a)√(a^2+b^2)
(最大の円の直径)=(長方形の対角線)=√(a^2+b^2)
なので
円周比は b：(b/a)√(a^2+b^2)：√(a^2+b^2)=ab：b√(a^2+b^2)：a√(a^2+b^2)
面積比は a^2b^2：b^2(a^2+b^2)：a^2(a^2+b^2)

# 三平方の定理を使う基本的な問題ですので、定理などはなさそうな気がします。
No.86122 - 2023/08/04(Fri) 19:13:29
☆ Re: 図形に内接する円の円周と面積 / takesy
ご回答ありがとうございます。そうですか特に定理などはないんですかね。ちなみにこの図の円は小さいほうから面積が1,2,3,4,5,6となりますが、黄色の面積5となる円を描くための補助線はどうやって引きますか？
No.86124 - 2023/08/04(Fri) 19:30:19
☆ Re: 図形に内接する円の円周と面積 / らすかる
正方形の左上頂点をA、左下頂点をB、右下頂点をC、右上頂点をDとして
直線ADと最大円の交点のうちAに近い方をA'、Dに近い方をD'とし、
直線BCと最大円の交点のうちBに近い方をB'、Cに近い方をC'として
横長の長方形A'B'C'D'を作る
同様に縦長の長方形も作れば、二つの長方形のすべての短辺に接する円は面積が5です。
No.86128 - 2023/08/04(Fri) 21:47:35
☆ Re: 図形に内接する円の円周と面積 / takesy
ご回答ありがとうございました。この円に内接する短辺√2の長方形の長辺は√3になりますね。図形面白いですね。
No.86152 - 2023/08/06(Sun) 10:56:25