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記事No.86239に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ ちゃん
引用
次の問題の解説をお願いします。
答えは次の通りです。
(1)x≦-1/5,0≦x
(2)k=1/4,cos2θ=-√(15)/4
(3)a_n=2^(n+1)+(-1)^n/3,n=12
No.86239 - 2023/08/16(Wed) 22:43:17
☆
Re:
/ ヨッシー
引用
(1)
(x^2−x＋3ab)＋(2x＋b−a/2)ｉ＝0
より
x^2−x＋3ab＝0 ・・・(i)
2x＋b−a/2＝0 ・・・(ii)
(ii) より
x＝b/2−a/4
(i) に代入して
(b/2−a/4)^2−(b/2−a/4)＋3ab＝0
b^2/4＋a^2/16−ab/4−b/2＋a/4＋3ab＝0
4b^2＋a^2−8b＋4a＋44ab＝0
(ii) より
b＝a/2−2x
(i) に代入して
x^2−x＋3a(a/2−2x)＝0
(3/2)a^2−6xa＋x^2−x＝0
a が実数を持つためには、
D/4＝9x^2−(3/2)(x^2−x)
＝(−3/2)x^2＋3x/2＋9x^2
＝(15/2)x^2＋3x/2
＝(3x/2)(5x＋1)≧0
よって、ｘ≦−1/5 または 0≦x
a が実数の時、b(＝a/2−2x) も実数となります。
(2)
２解をα、β とすると、解と係数の関係より
α＋β＝√3/2、αβ＝−k/2
α、βが sinθ, cosθ(0＜θ＜π) となるためには、
α^2＋β^2＝1 かつ α, βの少なくとも一方が正であること
α^2＋β^2＝(α＋β)^2−2αβ＝3/4＋k＝1
よって
ｋ＝1/4
このとき、２解は
ｘ＝{√3±√(3＋2)}/4＝(√3±√5)/4
であるので、
sinθ＝(√3＋√5)/4, cosθ＝(√3−√5)/4
となり、
cos(2θ)＝cos^2θ−sin^2θ＝(8−2√15)/16−(8＋2√15)/16
＝−√15/4
(3)
a[n+2]−αa[n+1]＝β(a[n+1]−αa[n])
と書けたとします。展開して移項すると
a[n+2]＝(α＋β)a[n+1]−αβa[n]
係数比較して、
α＋β＝１，αβ＝−２
１つの解として、
ｘ^2−ｘ−２＝０
の解、α＝−１,β＝２ を得ます。よって、
a[n+2]＋a[n+1]＝２(a[n+1]＋a[n])
と書けます。ここで
b[n]＝a[n+1]＋a[n]
とおくと、b[n] は、初項が ４，公比２の等比数列となり、一般項は
b[n]＝2^(n+1)
a[n+1]＋a[n]＝2^(n+1)
が、
a[n+1]＋ｔ・2^(n+1)＝−(a[n]＋ｔ・2^n)
と書けたとします。整理して、
a[n+1]＋a[n]＝−ｔ・2^(n+1)−ｔ・2^n＝−3t・2^n＝2^(n+1)
より、ｔ＝−2/3
c[n]＝a[n]−(2/3)・2^n
＝a[n]−(1/3)・2^(n+1)
とおくと、c[n] は初項 -1/3、公比 −1 の等比数列となり、一般項は
c[n]＝(-1/3)・(-1)^(n-1)＝(1/3)・(-1)^n
よって、
a[n]＝c[n]＋(1/3)・2^(n+1)
＝{2^(n+1)＋(-1)^n}/3
{2^(n+1)＋(-1)^n}/3＞1500 より
2^(n+1)＋(-1)^n＞4500
(-1)^n は -1 か 1 なので、2^(n+1) が4500 を超えるあたりを調べます。
2^12＝4096、2^13＝9192
よって、n=12 で、a[n]は 1500 を超えます。
No.86242 - 2023/08/17(Thu) 15:59:43
☆
Re:
/ ちゃん
引用
ありがとうございます♪
No.86243 - 2023/08/17(Thu) 17:33:26
☆
Re:
/ ちゃん
引用
(1)ですが、
(ii) より
x＝b/2−a/4
(i) に代入して
(b/2−a/4)^2−(b/2−a/4)＋3ab＝0
b^2/4＋a^2/16−ab/4−b/2＋a/4＋3ab＝0
4b^2＋a^2−8b＋4a＋44ab＝0
上の過程は必要なのでしょうか？？
No.86245 - 2023/08/17(Thu) 17:52:36
☆
Re:
/ ヨッシー
引用
あ、消し忘れですね。
必要ありません。
失礼しました。
No.86281 - 2023/08/20(Sun) 22:24:50
☆
Re:
/ ちゃん
引用
ありがとうございます。
No.86295 - 2023/08/22(Tue) 08:58:22
