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記事No.86257に関するスレッドです
★ (No Subject) / ちゃん
次の問題の解説をお願いします。
答えは次の通りです。
(1)
?@ア:2,イ:3
?Aウ:1,エ:9
(2)
オ:2,カ:4,キ:8,ク:3,ケ:5,コ:2,サ:7,シ:4
No.86257 - 2023/08/19(Sat) 10:44:48
☆ Re: / X
(1)
○1
条件から
sin2α=(4/3)cosα
これより
2sinαcosα=(4/3)cosα
(2sinα-4/3)cosα=0
0＜α＜π/2よりcosα≠0ゆえ
sinα=2/3

○2
○1のαを使うと、y=f(x),y=g(x)のグラフの位置関係から
S=∫[α→π/2]{f(x)-g(x)-}dx
=∫[α→π/2]{sin2x-(4/3)cosx}dx
=[-(1/2)cos2x-(4/3)sinx][α→π/2]
=(1/2-4/3)+(4/3)sinα+(1/2){1-2(sinα)^2}
これに○1の結果を代入して
S=-5/6+8/9+(1/2)(1-8/9)
=-5/6+17/18
=1/9
No.86259 - 2023/08/19(Sat) 19:39:59
☆ Re: / X
(3)
y^2=(x^2)(3-|x|) (A)
とします。
さて
f(x)=(x^2)(3-|x|)
とすると
f(-x)=f(x)
∴(A)のグラフCはy軸に関し対称。
よって0≦xについてのみ考えれば問題ありません、
このとき
f(x)=(x^2)(3-x)
f'(x)=6x-3x^2=-3x(x-2)
∴(A)より
0≦x≦3
となることに注意してf(x)の増減表を書くと
f(x)は最大値
f(2)=4
を取ることが分かります。
∴Cのy座標の最大値は2

又(A)よりCはx軸に関しても対称ですので
Cによって囲まれる面積をSとすると
S=4∫[0→3]√{(x^2)(3-|x|)}dx
=4∫[0→3]x√(3-x)dx
ここで3-x=tと置くと
S=4∫[0→3](3-t)√tdt
=4[2t^(3/2)-(2/5)t^(5/2)][0→3]
=4{6√2-(18/5)√2}
=(48/5)√2

更にDをx軸の周りに回転させてできる回転体の
体積をVとすると、
V=π∫[0→3](y^2)dx
=π∫[0→3](x^2)(3-|x|)dx
=π[x^3-(1/4)x^4][0→3]
=27π/4
No.86260 - 2023/08/19(Sat) 20:35:24
☆ Re: / ちゃん
ありがとうございます♪
No.86275 - 2023/08/20(Sun) 17:38:48
☆ Re: / ちゃん

又(A)よりCはx軸に関しても対称ですので
Cによって囲まれる面積をSとすると
S=4∫[0→3]√{(x^2)(3-|x|)}dx
=4∫[0→3]x√(3-x)dx

なぜ、ここの部分でSは×4されているのでしょうか？
No.86300 - 2023/08/22(Tue) 14:36:44
☆ Re: / ちゃん
自己解決しました。
グラフの形が∞のような形になるからですね。
No.86301 - 2023/08/22(Tue) 14:56:11