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記事No.86276に関するスレッドです
★ (No Subject) / ちゃん
次の問題の解説をお願いします。
答えは次の通りです。
(1)ア:2,イ:2,ウ:5
(2)エ:-,オ:1,カ:2
No.86276 - 2023/08/20(Sun) 18:12:51
☆ Re: / X
(1)
Q(t,logt)と置き、点Qと問題の円((A)とします)
の中心と距離の二乗をf(t)と置くと
f(t)=(t+1)^2+(logt-2)^2
∴f'(t)=2(t+1)+2(logt-2)/t
=2(t^2+t+logt-2)/t
更に
g(t)=t^2+t+logt-2
と置くと
g'(t)=2t+1+1/t=(2t^2+t+1)/t
={2(t+1/4)^2+7/8}/t＞0
で
lim[t→+0]g(t)=-∞
lim[t→∞]g(t)=∞
g(1)=0
以上からf(t)の増減表を書くと
f(t)はt=1のときに最小値8を取ることが
分かります。
∴このときの点Qと円(A)との中心を結ぶ線分と
円(A)との交点をPに取れば、線分PQの長さは
最小になるので、求める線分PQの最小値は
√8-√5=2√2-√5
No.86277 - 2023/08/20(Sun) 20:15:11
☆ Re: / X
(2)
2X^3-X^2+4X+7E=O (A)
とします。
さて、ケーリー＝ハミルトンの定理により
X^2-(1-a)X+(3-a)E=O (B)
ここで
(2x^3-x^2+4x+7)÷(x^2-(1-a)x+3-a)
の余りが
(2a^2-5a+3)x-(2a^2-7a-4)
であることに注意して、(B)を使って
(A)の左辺のXの次数を落とすと
(2a^2-a-1)X-(2a^2-7a-4)E=O (A)'
両辺の(1,2)成分を比較して
2a^2-a-1=0
これより
a=-1/2,1
このうち(A)'を満たす値を求めて
a=-1/2
No.86279 - 2023/08/20(Sun) 20:29:32
☆ Re: / ちゃん
(1)このときの点Qと円(A)との中心を結ぶ線分と
円(A)との交点をPに取れば、線分PQの長さは
最小になるので、求める線分PQの最小値は
√8-√5=2√2-√5

上記の部分の計算過程を詳しく知りたいです。


(2)ですが、
x^2になっていない？ようですがあっていますでしょうか？
No.86280 - 2023/08/20(Sun) 22:15:27
☆ Re: / X
(1)について
円(A)の中心をCとすると、PQが最小のとき
PQ=CP-CQ=CP-(円(A)の半径)
=√8-√5
(＞＞∴このときの点Qと〜をPに取れば
に従って図を描いて下さい。)

＞＞(2)ですが、〜
ごめんなさい。単なる誤記です。
No.86279を修正しましたので再度ご覧下さい。
No.86287 - 2023/08/21(Mon) 16:49:03
☆ Re: / ちゃん
(1)
上記の件、解決できました。ありがとうございます。
因みにf(t)の増減表はどのように書けますでしょうか？
No.86296 - 2023/08/22(Tue) 10:01:09
☆ Re: / ちゃん
(2)
余りが(2a^2-a-1)x+(-2a^2+7a-3)になったのですが間違っていますでしょうか？

また下記の部分の計算過程の詳細を教えていただきたいです。

(B)を使って
(A)の左辺のXの次数を落とすと
-(2a^2-a-1)X-(2a^2-7a-4)E=O (A)'
両辺の(1,0)成分を比較して
-(2a^2-a-1)=0
これより
a=-1/2,1
このうち(A)'を満たす値を求めて
a=-1/2
No.86297 - 2023/08/22(Tue) 10:53:27
☆ Re: / X
(1)の増減表について
g'(t)=2t+1+1/t=(2t^2+t+1)/t
={2(t+1/4)^2+7/8}/t＞0
より、g(t)は単調増加
で
lim[t→+0]g(t)=-∞
lim[t→∞]g(t)=∞
g(1)=0
∴
t＜1のときg(t)＜0
1＜tのとき0＜g(t)
ここで
f(t)=2g(t)/t
ですから…
No.86304 - 2023/08/22(Tue) 18:31:52
☆ Re: / X
＞＞(2)
＞＞余りが〜
ごめんなさい。No.86279で誤りがありましたので
修正しました。
再度ご覧下さい。
但し、余りは
＞＞(2a^2-a-1)x+(-2a^2+7a-3)
とはなりません。
No.86305 - 2023/08/22(Tue) 18:40:35
☆ Re: / ast
(2) について口をはさみますが,
　2x^3-x^2+4x+7 = (x^2-(1-a)x+(3-a))(2x-2a+1) + ((2a^2-a-1)x-(2a^2-7a-4))
だから
> ここで
> (2x^3-x^2+4x+7)÷(x^2-(1-a)x+3-a)
> の余りが
> -(2a^2-5a+3)x-(2a^2-7a-4)
> であることに注意して、
の部分は (いまでもまだ) 間違っているけれど, そもそもこの部分を抜かした
> X^2-(1-a)X+(3-a)E=O (B)
> (B)を使って(A)の左辺のXの次数を落とすと
> -(2a^2-a-1)X+(2a^2-7a-4)E=O (A)'
自体は (私が見かけたときからずっと変わらず) 正しいようなので, 余計なことを書いたために余計な質疑が発生しているだけだと思います.
(おそらく X さんは "B を適当に変形したものを使って次数を下げる答案" をまず作ったうえで, その操作の見通しを立てやすくするためと思って「多項式の割り算」と「多項式に行列を (形式的に) 代入」という道具立てを紹介したかったので付け加えることにした, といったあたりなのではないでしょうか.)

# なお, 誤記や計算間違いなどのケアレスミスは, 特に質問者が自ら訂正して正答が得られているなら,
# いちいち回答者に訂正を求める必要はない部分だと思います (したり顔で「間違ってるぞ」と指摘すれば十分).
## 本件も論法は正しいので, 質問者自身で修正しつつ最後まで論をなぞりきれる範疇だと思います.
# もし, 自ら修正しつつ追ってみたが結果が芳しくなかった, という場合にはその趣旨と実際に試したこと
# およびそれでうまくできなかった部分や齟齬だと感じる部分などを具体的に明示して再質問する
# ということであれば, それはじゅうぶん適正だと思います.

> 両辺の(1,2)成分を比較して
どのみちすべての成分を確認する必要があるとはいえ, (1,1)-成分は (私の計算間違いでないなら) a の一次式になる (したがって, a の候補はひとつに絞られる) とおもうので, なぜわざわざ二次式から調べようとしているのかちょっと疑問です…….
No.86308 - 2023/08/23(Wed) 16:04:40
☆ Re: / X
＞＞astさんへ
計算間違いのご指摘ありがとうございます。
＞＞どのみちすべての成分〜
(A)'とXの成分を見た段階で、成分をいちいち整理するより
必要条件として、解としても高々2個である
Xの係数=0
とできる(1,2)成分の比較を計算した上で、場合分けして
十分性を確かめた方が早いと考えました。

＞＞ちゃんさんへ
astさんのご指摘通り、まだ計算が間違っていましたので
No.86279を直接修正しました。
申し訳ありませんが、再々度ご覧下さい。
No.86312 - 2023/08/23(Wed) 17:58:55
☆ Re: / ちゃん
難しいですね。ありがとうございます
No.86326 - 2023/08/28(Mon) 07:39:11