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記事No.86337に関するスレッドです
★ 面積と移動距離の関係 / 町子(中学3年生)
理科の話ではあるのですが、数学が関わると思えるので、質問です。

時間を横軸、速さを縦軸とするときに、速さと時間の関係を表すグラフと横軸の囲む面積が移動距離を表すと教わりました。

でもこれって、小学校で教わるみはじ(道のり=速さ×時間)をグラフに見立てたものですよね？

つまり、速さが一定なら、速さ×時間が縦×横の長方形の面積を求める計算に対応しているってことですよね？

でも、時間により、速さが一定にならない場合でも面積と移動距離が対応するらしいのですが、なぜでしょうか？

速さをy、時間をxとします。yがxの関数である場合、関数によって当然にはグラフは長方形になるわけではないでしょうに、なぜこの場合にも面積が移動距離になると言えるのでしょうか？

この場合のyxは面積ではあるまいし、一体何を表すのでしょうか？
No.86330 - 2023/08/31(Thu) 01:20:28
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / 黄桃
今の時代、スマホでもタブレットでもPCの画面でもいいですが、画面上に
>速さをy、時間をxとします。yがxの関数である場合、関数によって当然にはグラフは長方形になるわけではないでしょうに
と書いているグラフを描かせてみてください（イメージするだけでもOKです）。

見た目には曲線（や斜めの直線）に見えても、実はたくさんのドット（点）の集まりだということはご存知でしょう。
x方向の1ドット単位でみれば（1ドットは0.1秒とか0.001秒とかかもしれませんが）、その間に進んだ距離はその時の速さyと時間(0.1秒とか0.001秒とか)の積で、それは細長い長方形の面積になるでしょう。
スマホだと拡大していくとどこかでそれ以上拡大できなくなるかもしれませんが、理想的なグラフならいくらでも拡大できますから、いくらでも細かい時間に分割できます。
これを全部の区間に渡って足し合わせると全体の距離になるでしょう。

中学生の私は、この説明を聞いても「そうはいっても、結局長方形でギザギザに近似しているだけでしょ？正確じゃないのでは」と思ってました。

なのでもう少し細かく説明してみます（それには極限という概念が必要で、それは、将来高校で区分求積というのを習ったり、大学までいって実解析（微積分）を習ったりしてやっとわかるようになるかも、というものですから今理解できなくても当たり前です）。
時間をものすごく細かく区切れば、その区間での速さはほぼ一定で、違っても 0.00001m/秒以下にすることはできるでしょう。
どの区間でも0.00001m/秒以下にできれば、各区間ですべて 0.00001m/秒だけ速い速度で進んだ場合と 0.00001m/秒だけ遅い速度で進んだ場合との間に真実があるでしょう。
全体の時間が100秒なら、距離の誤差は0.00001x100=0.001m=1mm だから、±1mm以内です。
区間をもっと細かくしてどの区間でも速度の差が0.00000001m/秒以下、にすればもっと正確な数字がでてくるでしょう。

理科的な言い方をすれば、メートル単位で小数点以下2桁まで求めるには、誤差を0.005m 以下にすればいいでしょうから、100秒間の移動なら各区間の中で速度が最大でも 0.00005m/秒しか変化しないように細かく区切れば答が出せるでしょう。
実際するかどうかは別にして、小数点以下何桁であっても、区間さえ細かくすれば、必ず計算できます。
こうして求めた計算結果は、グラフが y=-x+5 のような直線の場合でも、三角形の面積として計算したもの（の小数点以下）と同じになるのです。
No.86336 - 2023/08/31(Thu) 23:28:29
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / 町子(中学3年生)
どうしても気になったので、学校を休んで定積分について調べました。意味不明な記号の羅列で、ちんぷんかんぷんなのですが、何となくこうではないかと思ったことを質問させてください。

f(x)という記号は、yと同じで、xの関数であることを表す記号ですよね？

面積を求めるにあたって、f(x)は縦、dxは横を表しているんですよね？

このとき、dxはとても短いですが、この短い横の左端の高さと右端の高さの平均を取って、それをf(x)、つまり高さに見立ててみると、等積変形の要領で、長方形ではないものを長方形に直して、その長方形をかき集めると考えてみたのですが、これは見当外れでしょうか？

添付画像は反比例の場合です。

面積が移動距離を表すって考え方がとても面白くて気になって、できるだけ勉強してみたいです。

f(x)dxの考え方を使えば、移動距離に限らず、いろいろなものを面積で求められるような気がするのですが、こう考えてみると面積って、すごく応用範囲が広いような気がするのですが、これは間違ってますか？
No.86337 - 2023/09/01(Fri) 23:44:22
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / GandB
　今のところは

　　区分求積法

で検索し、気に入ったサイトを拾い読みする程度でいいのでは。たとえば

http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/kubun.htm

　曲線で囲まれた面積を微小な幅の長方形に分割し、それを足し合わせれば、
　・曲線で囲まれた面積のよい近似が得られそうなこと
　・分割数が多いほど近似の精度がよくなること
は直感的にわかるだろう。
No.86342 - 2023/09/02(Sat) 07:31:01
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / 黄桃
>f(x)という記号は、yと同じで、xの関数であることを表す記号ですよね？
そうです。

>面積を求めるにあたって、f(x)は縦、dxは横を表しているんですよね？
そういうイメージから来ていますので、そう思ってもかまいません。

>等積変形の要領で、長方形ではないものを長方形に直して、その長方形をかき集めると考えてみた
そう考えてもいいですが、それはどちらかというと、面積を近似して求める方法、です。

厳密な話には、極限という概念が必要です。詳しくは説明できませんが、次の2つを満たす数は5しかない、という考え方が基本です。
1. 5より大きいどんな数よりも小さい
2. 5より小さいどんな数よりも大きい

これから面積が5であることをいうには、その面積は５より大きいどんな面積よりも小さく、5より小さいどんな面積よりも大きい、というのです（ちょうど円の面積が内接正n角形よりも大きく、外接正n角形よりも小さい、というようなものです）。
細かく区切っていくことにより、このことがいえます。

その具体的な計算方法が区分求積であり、積分法です。

>面積が移動距離を表す
x軸が時間、y軸が時間と共に増えたり減ったりするもの、として、それらのある時間の合計、は面積になります。
y軸が速さ、面積が距離、以外にもy軸がある地点の各時刻（瞬間）の降水量、とすれば、例えば24時間降水量も面積です。

x軸が時間以外でもxとyを掛けたものを足し合わせるような場合も同様に面積になるはずです。いろいろな場合を考えてみるのも面白いと思います。
No.86346 - 2023/09/02(Sat) 15:20:49
☆ Re: 面積と移動距離の関係 / 町子(中学3年生)
ありがとうございました！！
No.86353 - 2023/09/03(Sun) 08:45:30