半径1の球面が存在する。この球面の中心が4点O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3)を頂点とする四面体の表面およびその内部を自由に動くとき、球面が通過しうる部分の体積を求めよ。 という問題が分からなくて困っています。 まず四面体OABCの内部は確実に含まれていて、四面体の面に三角柱が存在していて、四面体の辺に円柱の一部分が存在していて、四面体の頂点に球の一部分が存在しているような図形になると思うのですが、 分割すると、 四面体OABC 球の1/8の体積のものが1個 球の9/32のものが3個 高さ3・半径1の円柱の1/4のものが3個、 高さ3√2・半径1の円柱の1/4のものが3個、 3×3×1の三角柱が3個 1辺の長さが3√2の三角形で高さが1の三角柱が1個 のような気がするのですが、 おそらく円柱の部分がうまく把握できていなくて計算が合わないです。 積分を使わずに求められそうですが分かりません。
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No.86422 - 2023/09/15(Fri) 14:36:21
| ☆ Re: 四面体の面とその内部を自由に動く球面の通過領域の体積 / X | | | その図において P(0,3),Q(3,0) D(-1,3),E(-1,0),F(0,-1),G(3,-1) H(3+1/√2,1/√2),I(1/√2,3+1/√2) とすると、私のV[3]の計算の方針では この図形を △OPQ,長方形DEOP,長方形OFGQ,長方形QHIP に分割して角柱と考えた上で、残った扇形を組み合わせて 半径1の円として半球と考え、V[3]を計算しています。
従って、大西さんの言う赤い領域は 長方形QHIP に含まれています。
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No.86436 - 2023/09/16(Sat) 12:56:58 |
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