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記事No.86546に関するスレッドです
★ 最小二乗法に関する証明 / りん
この問題の(1)のαまではまとめられましたが、それ以降がどうしても求まりません。
どうぞよろしくお願いいたします。
No.86545 - 2023/10/07(Sat) 12:31:48
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / りん
αを求めた自分の解答です。
No.86546 - 2023/10/07(Sat) 12:32:46
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / りん
(2)の途中でわからなくなった部分です。
No.86547 - 2023/10/07(Sat) 12:36:30
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / X
まず、αを求めている計算ですが、添付写真2枚目の
＞＞○1、○2から
(○1、○2はそれぞれ、○の中に1、○の中に2の意味です。)
の行から3行下の行で両辺を
X[t]-1
で割っている計算が誤りです。
(Σの外にX[t]-1を係数として出すことはできませんので。)

ちなみに○3を導く計算ですが、○2を使わなくても
○1の両辺をnで割って整理すれば求められます。
(ということで、○3を○1に代入することは全く意味がありません。)


次にβの計算ですが、○3に○2を代入した上で
条件である
x[t]=X[t]-X_
y[t]=Y[t]-Y_
(X_,Y_はそれぞれX,Yの上にバーの意味です)
から
Σ[t=1〜n]x[t]=0
Σ[t=1〜n]y[t]=0
となることを使い、整理をします。
No.86550 - 2023/10/07(Sat) 14:25:35
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / X
最後に(2)について。

添付写真３枚目の４行目に
Σ[t=1〜n]x[t]=0
Σ[t=1〜n]y[t]=0
であることを使います。
No.86551 - 2023/10/07(Sat) 14:31:05
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / りん
(1)ベータについてです。
ここまで式変形できたのですが、どのように
Σ[t=1〜n]x[t]=0
Σ[t=1〜n]y[t]=0
を組み込んでゆくのか、わかりません。
お忙しいところ大変恐縮ですが、解説いただけませんでしょうか。
No.86552 - 2023/10/07(Sat) 15:59:25
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / X
添付写真の最終行の左辺から、更にX[t]を消去すると
Σ[t=1〜n](x[t]+X_)(βx[t]-y[t])=0
これより
Σ[t=1〜n]{βx[t]^2+βx[t]X_-x[t]y[t]-y[t]X_}=0 (A)
ここで
Σ[t=1〜n]x[t]=0
Σ[t=1〜n]y[t]=0
により、(A)の左辺のΣの中の第2項,第4項が消えて
Σ[t=1〜n]{βx[t]^2-x[t]y[t]}=0
∴β=(Σ[t=1〜n]x[t]y[t])/Σ[t=1〜n]x[t]^2
No.86553 - 2023/10/07(Sat) 21:42:08
☆ Re: 最小二乗法に関する証明 / りん
お忙しいところ、ありがとうございました。理解できました。本当にありがとうございます。
No.86556 - 2023/10/08(Sun) 23:17:22