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記事No.86571に関するスレッドです
★ 直角三角形 / えっとうくん
なぜ直角三角形の斜辺の長さは3辺の中で必ず一番長いのか教えていただきたいです。
経緯:グラフ上の2点(a,b) (c,d)間の距離を求めるときに三平方の定理より
=√{(c-a)^2+(d-b)^2}
によりだせると学校で習いました。しかし位置関係によっては、3辺の大小関係は変化するのではないかとおもい疑問に思いました。学校の先生に聞いたところ直角三角形の斜辺がもっとも長くなる、そういうものなの！といわれてしまい、とてもモヤモヤします。
こういう経緯のため、三平方、三角関数はなるべく使わずにユークリット幾何学の公理を用いての証明をお願いします。
要求が多くてすみません。お願いします。
No.86568 - 2023/10/15(Sun) 14:06:32
☆ Re: 直角三角形 / IT
直角三角形の図を載せます。
No.86569 - 2023/10/15(Sun) 16:19:07
☆ Re: 直角三角形 / IT
Aを中心に半径bの円を描き、この円と直線ABとのB側の交点をDとする。
二等辺三角形ACDにおいて、0＜∠ACD＜直角　を使えば、
AC=AD＜ABが言えるのでは？
No.86570 - 2023/10/15(Sun) 16:25:40
☆ Re: 直角三角形 / 黄桃
三角形においては、
*大きい角に対する辺は長い
*(長い辺に対する角は大きい）
ということが言えます。
これより、直角三角形では直角が最大角ですから斜辺が一番長くなります。

この事実は、直観的には、三角形ABCの外接円を書き、中心をOとすれば、辺の長さABは∠AOBの大きさで決まり（逆に辺＝弦が決まれば対応する中心角の大きさも決まる）、中心角の大きさは0と180度の間で角が大きいほど弦も長いから、といえます。

ですが、念のため、以下の図で∠A>∠B を仮定してBC>ACを導いてみましょう。

x=(∠A+∠B)/2, y=(∠A-∠B)/2 とし、Aから∠BAD=y となるように直線を引き、線分BCとの交点をDとします。
仮定から∠A>∠Bなので、DはBC上（両端を含まず）にあります。
このとき、∠CAD=x です。
さらに、∠ADC=∠B+∠y=(∠A+∠B)/2=x だから三角形CADはAC=DCとなる二等辺三角形です。
したがって、CD=ACであり、DはBC上にあるから、BC=BD+DC>DC=ACとなります。
No.86571 - 2023/10/15(Sun) 17:46:17