(2)からがわかりません。
高?Vの問題です。解答がありません、申し訳ありません。
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No.86573 - 2023/10/16(Mon) 14:15:35
| ☆ Re: 積分（数学?V） / WIZ | | | べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
(1)
I = ∫[0, 1]{e^(πx)/(1+e^(πx))}dx, J = ∫[0, 1]{1/(1+e^(πx))}dxとおきます。
I = ∫[0, 1]{(1/π){(1+e^(πx))'}/(1+e^(πx))}dx
= (1/π)[log(1+e^(πx))]_[0, 1] = {log(1+e^π)-log(2)}/π = log((1+e^π)/2)/π
更に、
J+I = ∫[0, 1]{(1+e^(πx))/(1+e^(πx))}dx = ∫[0, 1]{1}dx = [x]_[0, 1] = 1
⇒ J = 1-log((1+e^π)/2)/π = {log(e^π)-log((1+e^π)/2)}/π = log(2(e^π)/(1+e^π))/π
(2)(i)
kとnは自然数として、(k-1)π < x < kπならば、
e^((k-1)π/n) < e^(x/n) < e^(kπ/n)
⇒ 1/(1+e^(kπ/n)) < 1/(1+e^(x/n)) < 1/(1+e^((k-1)π/n))
⇒ ∫[(k-1)π, kπ]{cos(x)^2/(1+e^(kπ/n))}dx < ∫[(k-1)π, kπ]{cos(x)^2/(1+e^(x/n))}dx < ∫[(k-1)π, kπ]{cos(x)^2/(1+e^((k-1)π/n))}dx
# 被積分関数は積分範囲の端点では「<」ではなく「=」になりますが、端点を除けば「<」なので上記不等式は成立します。
ここで、
∫[(k-1)π, kπ]{cos(x)^2}dx = ∫[(k-1)π, kπ]{(1+cos(2x))/2}dx
= [x/2+sin(2x)/4]_[(k-1)π, kπ] = π/2
ですので、
π/(2(1+e^(kπ/n))) < ∫[(k-1)π, kπ]f[n](x)dx < π(2(1+e^((k-1)π/n)))
と言えます。
(ii)
I[n] = (1/n)Σ[k=1, n]{∫[(k-1)π, kπ]f[n](x)dx}なので、
(1/n)Σ[k=1, n]{π/(2(1+e^(kπ/n)))} < I[n] < (1/n)Σ[k=1, n]{π/(2(1+e^((k-1)π/n)))}
n→∞のとき区分求積により、
(1/n)Σ[k=1, n]{1/(1+e^(kπ/n))} = (1/n)Σ[k=1, n]{1/(1+e^((k-1)π/n))}
= ∫[0, π]{1/(1+e^x)}dx = log(2(e^π)/(1+e^π))/π
# 上記計算は(1)の結果を利用しました。
以上から、
lim[n→∞]I[n] = (π/2){log(2(e^π)/(1+e^π))/π} = log(2(e^π)/(1+e^π))/2
# 計算間違いしている可能性がありますので、質問者さんの方で良く検算してみてください。
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No.86574 - 2023/10/16(Mon) 17:31:27 |
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