代数学についての質問です。
問題4.17を教えてください。
よろしくお願いします。
![]() |
No.86580 - 2023/10/17(Tue) 01:23:27
| ☆ Re: 代数学 / ast | | | # 上付きのバーは表記しづらいので, ここでは "^-" で表す:
# 例えば Z_n において n-1 (≡-1 (mod n)) の属する剰余類は (n-1)^- (=(-1)^-).
# (追記:) あと, これは単なる確認だけど, Aff(1,Z_n) の定義中, 行列の成分にある 0,1 は
# Z_n の零元 (加法単位元) 0 と単位元 (乗法単位元) 1.
## 整数の 0, 1 を用いると (記号の濫用で) 0=0^-, 1=1^- (左辺の 0,1 は Z_n の, 右辺の 0,1 は Z の).
## 同様に, 整数の -1 に対して (-1)^- は Z_n の単位元 1 の逆元だから (Z_n の) -1 とも書き得る: i.e. -1=(-1)^-.
(既約剰余類群 (Z_n)^* の定義, および二面体群 D_[2n] の生成元と基本関係式は既知であるものとしてここで解説するつもりはしてないが) 求める同型を与える同型写像 λ: Aff(1,Z_n) → D_[2n]=⟨a,b|a^2=1,b^n=1,aba=b^(-1)⟩ が,
λ((-1, 0; 0, 1)))=a,
λ((1, 1; 0, 1))=b
で決まること (この2点での値から λ が Aff(1,Z_n) 上の準同型に延ばせること, 延ばした λ が全単射になること) を見ればよい.
# この議論は φ(n)=2 となる n でのみ有効であることに注意する.
|
No.86594 - 2023/10/18(Wed) 14:28:19 |
| ☆ Re: 代数学 / ast | | | > n=3の場合のみ示してもらってもよろしいでしょうか。
「のみ」は実質無理だと思いますが (単に n (ただし φ(n)=2) と書けばいいだけのところを強いて3と書かない限り, 普通に証明書いたら3,4,6を個別にという証明にはならない).
さりとてこちらが全部の場合を示すという形は ("代行" になってしまうので) 私個人のスタンスとして基本的にとりたくありません (とは言っても結局ほとんどのことは述べてる).
> 延ばせるというのもよく分かりません。
ガチガチの用語で言うなら「定義域の延長 (拡張, 拡大ともいう)」です (これ自体は解析学では頻出の概念なので知らないというのはたぶんないはず). 少なくとも, (用語を知っているかはともかくとして) 線型代数学では「線型写像は基底の行き先で決まる (基底の行き先を決めるとそれを線型に拡張して空間全体で定義された線型写像にできる)」という形で本件のアナロジーが既出なのでは?
# アナロジー (論理的な構造が同じ) だというのは,
# "線型写像"="線型空間という代数系における準同型", "基底"="線型空間の生成系" で,
# 本件が「"群という代数系における準同型" が "群の生成系" での値で決まる」という
# 対比ができるということ.
まあでも, (本質的には同じことのはずだが) 上に書いたのとは逆向きの写像 μ: D_[2n]→Aff(1,Z_n) を考えたほうが記述の見通しが立つかなあと思い直したので少し訂正を述べることにします. すなわち:
二元 a,b で生成される自由群を G, a^2,b^n,(ab)^2 で生成される G の正規部分群を N とすれば D_[2n]=G/N. G から Aff(1,Z_n) への準同型 ν を ν(a)=((-1)^-,0; 0, 1), ν(b)=(1,1; 0,1) (を準同型に拡張したもの) で定めると, N⊂Ker(ν) は容易に確かめられるから, 準同型定理 (の一種) により ν は準同型 μ: D_[2n]→Aff(1,Z_n) (μ(aN)=ν(a),μ(bN)=ν(b)) を誘導する.
(のであとはこの ν が全単射であることを言えばいい)
# 見通し云々は, 上で述べた λ が well-defined であることを直截的に述べるよりは
# 準同型定理 (が含意している μ のそれ) にまかせるほうがいいかなとか,
# μ, ν の Image や Kernel の計算が行列の計算に終始するので,
# とかいったような意味合いです.
|
No.86601 - 2023/10/19(Thu) 13:27:13 |
|
