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記事No.86617に関するスレッドです
★ (No Subject) / 積分
区分求積で解こうとしているのですが-π/6nの部分の処理がどう進めていいか分かりません。解説お願いします。
No.86617 - 2023/10/24(Tue) 22:10:09
☆ Re: / WIZ
lim[n→∞]{(1/n)Σ[k=1,n]cos(((k/n)π-π/(6n))/2)}の計算と解釈して回答します。

cos(((k/n)π-π/(6n))/2)
= cos((π/2)(k/n)-π/(12n))
= cos((π/2)(k/n))cos(π/(12n))+sin((π/2)(k/n))sin(π/(12n))

ここで、n→∞ のとき π/(12n)→0 ですから、
cos(π/(12n))→1 かつ sin(π/(12n))→0 となります。

よって、
lim[n→∞]{(1/n)Σ[k=1,n]cos(((k/n)π-π/(6n))/2)}
= lim[n→∞]{(1/n){cos((π/2)(k/n))cos(π/(12n))+sin((π/2)(k/n))sin(π/(12n))}}
= {∫[0,1]cos((π/2)x)dx}*1+{∫[0,1]sin((π/2)x)dx}*0

t = (π/2)xとおくと、dt = (π/2)dx かつ t の積分範囲は[0,π/2]となるので、

∫[0,1]cos((π/2)x)dx
= ∫[0,π/2]cos(t)(2/π)dt
= (2/π)[sin(t)]_[0,π/2]
= 2/π
No.86623 - 2023/10/25(Wed) 00:31:39