画像の問題で、(1)は -αβ であり、(2)で重心が一致する条件が
1+α^2+α^2β^2=α+α^2β-αβ
になって、結局α=βとなることを示せば良いと思うのですが、そこから先が分かりません。よろしくお願いします。
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No.86651 - 2023/10/29(Sun) 21:05:22
| ☆ Re: 複素数 / X | | | 以下、例えば複素数zの共役複素数を\zと書くことにします。
条件から
\αα=\ββ=1
に注意して、
1+α^2+(α^2)(β^2)=α+(α^2)β-αβ
の両辺に\(αβ)をかけると
αβ+\(αβ)+α\β=\β+α-1
これをθ[1],θ[2]を使って書き直すと
2cos(θ[1]+θ[2])+cos(θ[1]-θ[2])+isin(θ[1]-θ[2])
=cosθ[1]+cosθ[2]-1+i(sinθ[1]-sinθ[2])
∴複素数の相等の定義により
2cos(θ[1]+θ[2])+cos(θ[1]-θ[2])=cosθ[1]+cosθ[2]-1 (A)
sin(θ[1]-θ[2])=sinθ[1]-sinθ[2] (B)
(B)より
2sin{(θ[1]-θ[2])/2}cos{(θ[1]-θ[2])/2}
=2cos{(θ[1]+θ[2])/2}sin{(θ[1]-θ[2])/2}
sin{(θ[1]-θ[2])/2}{cos{(θ[1]+θ[2])/2}-cos{(θ[1]-θ[2])/2}}=0
sin{(θ[1]-θ[2])/2}sin(θ[1]/2)sin(θ[2]/2)=0 (B)'
ここで
θ[1]＞0,θ[2]＞0,θ[1]+θ[2]＜π (C)
により
0＜θ[1]/2＜π/2,0＜θ[2]/2＜π/2 (C)'
∴sin(θ[1]/2)sin(θ[2]/2)≠0
なので、(B)'より
sin{(θ[1]-θ[2])/2}=0
(C)'より
-π/2＜(θ[1]-θ[2])/2＜π/2
∴θ[2]=θ[1] (B)"
(B)"を(A)に代入すると
2cos2θ[1]+1=2cosθ[1]-1
これより
4(cosθ[1])^2-2cosθ[1]=0
(2cosθ[1]-1)cosθ[1]=0
∴cosθ[1]=0,1/2
となるので、(B)"(C)'より
(θ[1],θ[2])=(π/2,π/2),(π/3,π/3)
ところが、(C)により
(θ[1],θ[2])=(π/2,π/2)
のときは不適ゆえ
(θ[1],θ[2])=(π/3,π/3) (D)
∴円周角により
∠ACE={2π-(2θ[1]+2θ[2])}/2
=π-(θ[1]+θ[2])
=π/3 (E)
更に(D)により、点A,Eは直線OCに関し対称ゆえ
△ACEはAC=CEの二等辺三角形 (F)
(E)(F)により△ACEは正三角形になります。
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No.86654 - 2023/10/30(Mon) 19:20:10 |
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