画像の問題で、
(1)はそれぞれ√2 と1
(2)はI_nの式を1回部分積分して、途中の式変形で(cosh x)^2=(sinh x)^2+1を使うことで、(n+2)I_{n+2} = -(n+1)I_n +√2 になりました。(計算ミスがあったら申し訳ありません)
(3)が分かりません。よろしくお願いします。
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No.86652 - 2023/10/29(Sun) 22:54:35
| ☆ Re: 極限 / WIZ | | | (1)(2)は合っていると思います。
(3)
sinh(x)はxが実数であれば増加関数であり、
0 ≦ x ≦ aで0 ≦ sinh(x) ≦ 1です。
特に、0 < x < aでは0 < sinh(x) < 1です。
⇒ 0 < x < aでは、非負整数nに対して0 < sinh(x)^(n+1) < sinh(x)^n
⇒ 0 < ∫[0,a]{sinh(x)^(n+1)}dx < ∫[0,a]{sinh(x)^n}dx
⇒ 0 < I[n+1] < I[n]
となります。
上記からI[n]は下界があリ単調減少ですから極限を持ちますので、その値をBとします。
I[n+2] > BかつI[n] > Bですから、漸化式から、
√2 = (n+2)I[n+2]+(n+1)I[n] > (2n+3)Bとなりますが、
もしB > 0であれば、nがある一定以上の値で(2n+3)Bが√2以上となってしまい矛盾です。
よって、B = 0でなければなりません。
次に、n*I[n] = n∫[0,a]{sinh(x)^n}dx
= ∫[0,a]{((sinh(x)^n)')sinh(x)/cosh(x)}dx
= [(sinh(x)^n)sinh(x)/cosh(x)]_[0,a]-∫[0,a]{(sinh(x)^n)/(cosh(x)^2)}dx
= (1/√2)-∫[0,a]{(sinh(x)^n)/(cosh(x)^2)}dx
ここで、0 ≦ x ≦ aで1 ≦ cosh(x) ≦ √2より、
⇒ 1/2 ≦ 1/(cosh(x)^2) ≦ 1
⇒ ∫[0,a]{(sinh(x)^n)*(1/2)}dx < ∫[0,a]{(sinh(x)^n)/(cosh(x)^2)}dx < ∫[0,a]{(sinh(x)^n)*1}dx
⇒ (1/√2)-I[n] < n*I[n] < (1/√2)-I[n]/2
n→∞のときI[n]→0ですから、挟み撃ちによりn*I[n]→1/√2となります。
# 検算みたいなもの。
極限が存在すると仮定して、lim[n→∞]{n*I[n]} = Aとすると、
漸化式より、(n+2)I[n+2] = {-(n+1)/n}{n*I[n]}+√2となりますが、
n→∞のとき、(n+2)I[n+2]→A, (n+1)/n→1ですから、
A = -1*A+√2より、A = 1/√2となります。
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No.86655 - 2023/10/30(Mon) 19:24:27 |
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