[ 掲示板に戻る ]
記事No.86685に関するスレッドです
★ (No Subject) / レット—サー
この国際信州学院大学の問題の解説が見つからなかったので解説願いします
No.86685 - 2023/11/08(Wed) 21:54:56
☆ Re: / レット—サー
ごめんなさい
添付画像間違えました
No.86686 - 2023/11/08(Wed) 21:55:55
☆ Re: / IT
国際信州学院大学 は、実在の大学ですか？

なんとなく正しい不等式のような気がしますが、高校レベルで１、２時間で解けるとは思えません。
No.86713 - 2023/11/12(Sun) 22:26:25
☆ Re: / 黄桃
検索すればわかりますが、この大学はweb上だけで存在するジョーク大学です。
だから問題自体もユーモアにあふれています。ただ残念ながら2020である必然性は乏しいようです。
なので、どうしようかと思いましたが、一応書いておきます。

左側の不等式は、式の意味が分かれば簡単ですが、右側はすこしきちんと評価しないと出てこないようです。
高校数学の範囲で解けますが、四則演算ができる電卓が使えればともかく、そうでなければ、
1.55<log[2](3)<1.6
くらいは与えてほしいところです(2^8>3^5、2^14<3^9から言えますが面倒で退屈な計算です）。

＃問題自体もジョークでしょうから与えない方がいいのでしょう。

入試問題として適切かどうかはおいておくと、解法の１つは 1+1/2+1/3+... =∞ を示す方法の１つ(2^n 毎に区切って区切った部分の和が1/2より大きいことを使う）を応用するだけなので、この手法を知っていれば、多少の試行錯誤と計算力（と根気）は必要ですが、1時間あれば解けると思います。

一番左の式は、ルートを外していけば、
1^(1/2+1/4+...+1/2^1989)*2^(1/2^2+...+1/2^1989)*...*1988^(1/2^1988+1/2^1989)*1989^(1/2^1989)
=1^(1-2^1989)*2^(1/2-2^1989)*3^(1/2^2-2/1989)*...*1988^(1/2^1987-1/2^1989)*1989^(1/2^1988-1/2^1989)
になり、真ん中の式は
1*2^(1/2)*3^(1/2^2)*4^(1/2^3)*...*2021^(1/2^2020)
であり、
a>1, x>y>0 なら a^x>1および a^x>a^y に注意すれば、左側の不等式は明らか。

右側の不等式は、もっといい方法がありそうですが、2を底とする対数をとれば(以下、logの底の2は略します）、以下のようにlog(3)より小さいといえます。
1.55<log(3)<1.6は最初に示しておきます（以下で使います）。
log(真ん中の式)
=(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+
(1/2^4)log(5)+(1/2^5)log(6)+(1/2^6)log(7)+(1/2^7)log(8)+
(1/2^8)log(9)+....+(1/2^15)log(15)+
(1/2^16)log(17)+...+(1/2^31)log(32)+
...
(1/2^1024)*log(1025)+...(1/2^2020)*log(2021)
<(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+
(1/2^4)log(8)+(1/2^5)log(8)+(1/2^6)log(8)+(1/2^7)log(8)+
(1/2^8)log(16)+....+(1/2^15)log(16)+
(1/2^16)log(32)+...+(1/2^31)log(32)+
...
(1/2^1024)*log(2048)+...+(1/2^2020)*log(2048)+...+(1/2^2047)*log(2048)
(log(2^k)=k で括って等比級数の和を計算)
=(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+
3(1/2^3-1/2^7)+
4(1/2^7-1/2^15)+
5(1/2^15-1/2^31)+
...
11(1/2^1023-1/2^2047)
（ななめに同類項が現れるのに注意）
=(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+
3/2^3
+1/2^7
+1/2^15
...
+1/2^1023-11/2^2047
<(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+3/8+1/2^7+1/2^7
=(9/8)+(1/4)log(3)+1/2^6 (log(3)<1.6だから)
<(9/8)+(1/4)(16/10)+1/50
=1.125+0.4+0.02=1.545
<1.55<log(3) (1.55<log(3)だった)

＃最初は対数の底を3にして失敗し、2にして精度を上げて何とか出した、というのが舞台裏。
＃普通の入試問題とはやっぱり違って面倒です。
No.86728 - 2023/11/15(Wed) 23:32:44