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記事No.86861に関するスレッドです
★ (No Subject) / r
この問題の極限の解き方を教えてください。　答えでは1/e,3なのですが。
No.86861 - 2023/11/29(Wed) 21:06:51
☆ Re: / X
(3)
f(x)=logx
とすると
lim[x→1]log{x^{1/(x-1)}}=lim[x→1](logx)/(x-1)
=f'(1)=1
∴(与式)=e^1=e

(4)
(与式)=lim[x→∞]3・{1+(2/3)^x}^(1/x)
=lim[x→∞]3・[{1+(2/3)^x}^{1/(2/3)^x}]^{{(2/3)^x}/x}
=3・e^0
=3
No.86862 - 2023/11/29(Wed) 21:57:58
☆ Re: / WIZ
> Xさん
# 流石に間違い多過ぎない?
# (3)は質問者さんが答えは1/eと書いているのに、違う値になって疑問に思わないの?
# lim[x→1]{x^(1/(x-1))}じゃなくて、lim[x→1]{x^(1/(1-x))}を求めるんだよ?

(3)自然対数を取れば
lim[x→1]{log(x^(1/(1-x)))}
= lim[x→1]{log(x)/(1-x)}
= lim[x→1]{-(log(x)-log(1))/(x-1)}
= -log'(1) = -(1/1) = -1
# log'(x)なんて書き方はしないかもしれないが、
# これは自然対数関数の導関数で、log'(x) = 1/xです。

自然対数を外すと、
lim[x→1]{x^(1/(1-x))} = e^(-1) = 1/e
No.86863 - 2023/11/29(Wed) 23:44:17
☆ Re: / X
＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞rさんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。
No.86866 - 2023/11/30(Thu) 07:42:05
☆ Re: / IT
s=1/(x-1)とおく方法もありますね
s=1/(x-1)とおくと　x=1+(1/s) なので
x^(1/(1-x))＝(1+(1/s))^(-s)
x→1+0 のときは　s→+∞で　自然対数の底ｅの定義から求める極限値が求まります。
x→1-0 のときは　s→-∞なので、１ステップ要ります。

lim(s→∞){1+1/s}^s が収束することも、どこかで証明が必要ですが。
No.86869 - 2023/12/01(Fri) 19:06:46
☆ Re: / ast
(3) は x:=1+h として h→0 の極限をとるだけなのでは……?
# まあ e の導入の仕方に依る話ではあるかもしれないが……,
# もし仮にダメな場合 No.86862 の (4) の証明もダメな可能性が.
No.86899 - 2023/12/09(Sat) 02:55:39