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記事No.86894に関するスレッドです
★ 高3　包除原理 / ゆう
この問題の解き方が全く分かりません。
解説を知りたいです。
No.86894 - 2023/12/08(Fri) 20:53:49
☆ Re: 高3　包除原理 / ゆう
特に⚫の3つ目の分数の部分が全く理解出来ません。
No.86895 - 2023/12/08(Fri) 21:14:44
☆ Re: 高3　包除原理 / ヨッシー
国語に合格の集合をＡ、英語に合格の集合をＢ、数学に合格の集合をＣとします。
集合Ａの要素数を |Ａ| で表すことにすると、
１つめの●より
　|Ａ|＝279、|Ｂ|＝301、|Ｃ|＝232　・・・(1)
２つめの●より
　|Ａ∩Ｂ∩Ｃ|＝22　　・・・(2)
　|Ａ∪Ｂ∪Ｃ|＝ｘ−130　（ｘは全生徒数。以下同じ）　・・・(3)
３つめの●より
　|Ａ∪Ｂ|＝|Ａ|＋|Ｂ|−|Ａ∩Ｂ|＝3x/4　・・・(4)
　|Ａ∪Ｃ|＝|Ａ|＋|Ｃ|−|Ａ∩Ｃ|＝2x/3　・・・(5)
　|Ｂ∪Ｃ|＝|Ｂ|＋|Ｃ|−|Ｂ∩Ｃ|＝x/2　・・・(6)
(4)(5)(6)に(1) を代入しつつ変形すると
　|Ａ∩Ｂ|＝580−3x/4
　|Ａ∩Ｃ|＝511−2x/3
　|Ｂ∩Ｃ|＝533−x/2
これを、包除原理の式
　|Ａ∪Ｂ∪Ｃ|＝|Ａ|＋|Ｂ|＋|Ｃ|−|Ａ∩Ｂ|−|Ａ∩Ｃ|−|Ｂ∩Ｃ|＋|Ａ∩Ｂ∩Ｃ|
に代入すると
　ｘ−130＝279＋301＋232−(580−3x/4)−(511−2x/3)−(533−x/2)＋22
これを解いて
　11x/12＝660
　ｘ＝720(人)　・・・答え
No.86896 - 2023/12/09(Sat) 01:37:47
☆ Re: 高3　包除原理 / ast
ヴェン図を眺めると
　一つ目の●で 1科目のみ合格者が 1 回, ちょうど2科目合格者が 2 回, 3科目合格者が 3 回;
　三つ目の●で 1科目のみ合格者が 2 回, ちょうど2科目合格者が 3 回, 3科目合格者が 3 回,
それぞれ数えられているので (包除原理と同じ理屈で, 数える回数を調整して)
　x-130 = (3/4+2/3+1/2)x - (301+279+232) + 22
が導かれることになりますね (まあこの式自体は, ヨッシーさんの式と本質的に同じ式ですが).
# i.e. 279+301+232-580-511-533=-(301+279+232).

> 特に⚫の3つ目の分数の部分が全く理解出来ません。
それは割合の話が分からないという意味か, 割合なのは分かるが本問で活用できそうにないという意味か (あるいはもっと別の意味か) でだいぶ内容が異なると思いますが, どっち?
No.86897 - 2023/12/09(Sat) 02:40:45