この場合、最小値とはどこのことを指しているのですか？共有点のy座標のことですか？
a=-1の時に、C1とC3はどちらも(-1,0) (2,0) でX軸と共有点を持っているのは理解できるのですが、最小値が、0になることがよく分かりません。教えて頂きたいです。
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No.86901 - 2023/12/09(Sat) 09:00:03
| ☆ Re: 二次関数の共有点 / ast | | | > a=-1のときは、2重点2つのみだと思います。
そうですね, つまり a=-1 のとき "1重点 0 個, 2重点 2 個, 3重点 0 個" です. "a=-1 のとき l=0, m=2, n=0" がそれを述べた式ということです.
またたとえば a=1 のときは 1重点が 4 個, 2重点が 1 個, 3重点が 0 個 (たぶん……) なので, 式は l=4, m=1, n=0 です.
もとの (3) では l の値だけが訊かれているので m, n は調べなくてもいいですが, 同様にして他の a に関しても調べると, (aの値によって) l=0,2,4 の三通りの値しかとらないと思います (私が勘違いしていなければですが……. あまりきちんと書き出していませんので抜けがあるかもしれません). 本来はそうして l の取り得る値がはっきりした時点でやっと 0 が最小値であると確認できます. l=0,2,4 という l がとり得る 3 つの値の中で最小なのは l=0 だというのが (3) の「最小値」の意味だということです.
# とはいえ「個数を数える」というのは 0 以上の整数を割り当てることになるので, 0 個になることがあるならその時点で最小と短絡しても構わないと言えば構わないのかもしれないが.
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余談? (「ここまでの説明が伝わっている手ごたえがあまりないので, もっと原理的なところにさかのぼった話が必要とは思うけれど, 趣旨をハッキリさせようとすると長くなるので自分でもまとまりが悪いと感じる内容があったり, 読んでもらうにも質問者への負担を大きく掛けるものになってしまって, 書いても読んでもらえないと思っていて普段は避けているが, 根気よく読んでくれるならばと期待して書いておく」的なもの):
煩わしくなるのであまりしないとは思いますが, パラメータ a に依存して決まる対象すべてにパラメータ a を明示する形で問題文を
「a を実数の定数として 3 つの2次函数 f[a](x)=x^2-x-2, g[a](x)=2x^2-4ax+3a^2-2a+1, h[a](x)=-x^2-ax+a^2+1 を考える. y=f[a](x),y=g[a](x),y=h[a](x) のグラフをそれぞれ C[1,a], C[2,a], C[3,a] とし, x-軸上の任意の点 P に対して, C[1,a], C[2,a], C[3,a] のうちその点を通るものがちょうど i[a]-個であるものの個数を i[a]=1,2,3 のそれぞれに応じて l(a), m(a), n(a) とする.」と書き直したならば,
# ※1. f(x) は a を含まないけれど便宜上 (すべての a に対して f[a]=f という意味で) パラメータ a に依存するものとした
# ※2 原文に忠実に「その点 P を通るものがちょうど i[a] 個あるとき点P を i[a]-重点ということにする」と
# 書き直しても結局 1重点, 2重点, 3重点と呼んだとき a は見えないので
# あとの小問でこの呼称を用いる部分が無いことも踏まえて, このあたりの表現は改変した.
ここで一番に気を付けることとして, a は任意の値と仮定してよいが最初にいちど値を任意にとった後はしばらく (上記の「」の中ではずっと) ひとつの値に止めたままの話であるということがあります. しかしひとまず a の値を決めるごとに定まる 3 つの数値 l(a),m(a),n(a) の値のきめ方 (決定アルゴリズム) が定まったならば, たとえば上記の文の後に加えて「a を任意の実数値にわたって変化させるとき, 3つの a の函数 l(a), m(a), n(a) について以下の問いに答えよ」のような文を挿入して a を変化させたときの l(a),m(a),n(a) の挙動を各小問で問うているという話に変わっています. なのでたとえば
(0) 3つの函数 l=l(a), m=m(a), n=n(a) の値域 (取りうる値) を答えよ.
# 記号の濫用で l=l(a) のように書いているものは, たとえば y=l(a) とかでもいいがもとのグラフの y とは関係ないし不必要に使う文字を増やしたくなかったのでこう書いている.
とか
(3') 3つの函数 l=l(a), m=m(a), n=n(a) について, l,m,n それぞれの最大値および最小値を答えよ (それぞれの値をとる a の値も明示せよ)
のような問題を設定できるということになります.
# もとの各小問も同様に書き直せますし, たぶん細かい意図はその方が説明しやすいこともあると思います.
## 例えば (4) は l(a)+m(a)+n(a) という同じ a に対する l,m,n の和の値について a を変化させる話であって
## l(a)+m(b)+n(c) (b,c は a の「コピー」だけど a と独立に値を決められるという意味で別のパラメータ) を考えたりすると
## 問われていることと違うものを考えたことになってしまう, とか.
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No.86909 - 2023/12/09(Sat) 22:29:05 |
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