f(x,y)はR^2上C^2級とし、任意のt>0に対しf(tx,ty)=t^2f(x,y)が成り立つとする。この時、
f_{xx}(x,y)x^2+2f_{xy}(x,y)xy+f_{yy}(x,y)y^2=2f(x,y)が成り立つことを示せ。
回答解説よろしくお願いします。
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No.86935 - 2023/12/14(Thu) 11:25:39
| ☆ Re: 偏微分 / ast | | | 概ねそういうことですが, しかしあちこち t が抜けて特に後半めちゃくちゃになっているので全般的に見直してください. また, f(x,y) と f(tx,ty) は引数を省略したらどちらも f で区別がつかないので, 引数も省略すべきではありません (画像の最初の "F''(t)=" のところの2行とか).
最低限おさえておくべき内容は:
与えられた f(tx,ty) = t^2⋅f(x,y) の両辺 t で微分して f_x(tx,ty)⋅x+f_y(tx,ty)⋅y = 2t⋅f(x,y),
再度両辺微分して (f_{xx}(tx,ty)⋅x + f_{xy}(tx,ty)⋅y)⋅x + (f_{yx}(tx,ty)⋅x + f_{yy}(tx,ty)⋅y)⋅y = 2⋅f(x,y).
f_{xy}=f_{yx} (函数として等しい) に注意して,
t=1 とおくと f_{xx}(x,y)⋅x^2 + 2⋅f_{xy}(x,y)⋅xy + f_{yy}(x,y)⋅y^2 = 2⋅f(x,y).
# x,y を定数とし t の一変数函数同士の等式と見るなら, t=1 における2階微分係数が等しいという話.
です.
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なお, とくに f(tx,ty) を微分して出てくる f_x および f_y ほかは, f(○,×) のそれぞれ第一引数 ○ および第二引数 × に関する偏微分(をしてから ○=tx,×=ty を代入) という意味の「記法の濫用」: f_x(u,v):=(∂f(x,y)/∂x)|_[x=u,y=v], f_y(u,v):=(∂f(x,y)/∂y)|_[x=u,y=v] (あるいはいまの場合: "•_x"=∂•/∂(tx), "•_y"=∂•/∂(ty) と思ってもよい), といったあたりあらかじめ解説すべき事項を失念していました, すみません.
# 「代入してから微分」と「微分してから代入」で記法が衝突しているという話で,
# 一般に x=x(t), y=y(t) (x,y が t の函数) のときの f(x,y)=f(x(t),y(t)) を t で微分する,
# といったようなときによく使う記法.
## いまたまたま x(t)=xt, y(t)=yt と書いてる (が, 左辺の x,y と右辺の x,y は別物で,
## さらに上で書いた f(x,y) の x,y とも意味が別) ということ.
# また例えば一変数の場合にも, df(u)/dx=f'(u)du/dx のような式にであったとき
# この f'(u) も二通り: df(u)/du or (df(x)/dx)(u) に解釈できる, という記法上同様の「問題」はある
# (が, やはりどちらに解釈しても実際は同じ式を指してるので, 解釈上はとくに問題でないはず).
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No.86945 - 2023/12/14(Thu) 21:05:04 |
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