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記事No.87131に関するスレッドです
★ 円 / ひき肉です
AB=5、AC=4、BC=3の三角形ABCについて、CからABに垂線CDを引く。またABを直径とする円Oとする。さらにCD、AB、円Oに接する円Pとする。円Oと円Pの接点をE、CDと円Pの接点をFとする。
このとき、O、P、Eは同一直線上にあることを示せ。またA、E、Fは同一直線上にあることを示せ。

さっぱりです。
よろしくお願いします。
No.87131 - 2024/01/02(Tue) 22:29:31
☆ Re: 円 / X
前半)
点Eにおける円Oの接線をLとすると、条件からLは
点Eにおける円Pの接線でもあるので
OE⊥L,PE⊥L
∴点O,P,Eは同一直線上にある。

後半)
条件から△ABC∽△BCDゆえ
BD=(BC/AB)BC=9/5
∴AD=5-9/5=16/5 (A)
∴円Pの半径をrとすると
△OHPにおいて三平方の定理により
(5/2-16/5+r)^2+r^2=(5/2-r)^2
これをr＞0に注意して解くと
r=6/5 (B)

さて
条件から△EFPと△OHPに注目することにより
∠EFP=(1/2)HOP
∴∠DAF=∠(1/2)HOP (P)
が示せれば、PF//ABにより、
A,E,Fが同一直線上にある
ことが示せますので、(P)を証明します。
まず(A)(B)より
tan∠DAF=DF/AD=(6/5)/(5-16/5)
=2/3 (C)
一方
cos∠HOP=OH/OP=(5/2-16/5+6/5)/(5/2-6/5)
=(1/2)/(13/10)
=5/13 (D)
(C)(D)より
{tan(∠HOP/2)}^2=(1-cos∠HOP)/(1+cos∠HOP)
=8/18=4/9
={tan(∠DAF)}^2
∴tan(∠HOP/2)＞0,tan(∠DAF)＞0より
tan(∠DAF)=tan(∠HOP/2)
条件から
0＜∠DAF＜π/2,0＜∠HOP＜π/2
∴∠DAF=∠HOP/2

(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
No.87133 - 2024/01/03(Wed) 11:24:53
☆ Re: 円 / WIZ
> Xさん

> △OHPにおいて三平方の定理により
> (5/2-16/5+r)^2+r^2=(5/2-r)^2
> これをr＞0に注意して解くと
> r=6/5 (B)

上記は|OH|^2+|HP|^2 = |OP|^2を計算していると思いますが、
|OH| = |OD|+|DH|かつ、|DH| = rかつ、
|OD| = |AD|-|AO| = 16/5-5/2 = 7/10より、
|OH| = 7/10+rとなります。
つまり、(7/10+r)^2+r^2 = (5/2-r)^2から、r = 4/5となります。

> tan∠DAF=DF/AD=(6/5)/(5-16/5)
> =2/3 (C)

Xさんご自身で、|AD| = 16/5を導ていているのに、何故分母が5-16/5になるのでしょう?
tan(∠DAF) = |DF|/|AD| = (4/5)/(16/5) = 1/4です。


> cos∠HOP=OH/OP=(5/2-16/5+6/5)/(5/2-6/5)
> =(1/2)/(13/10)
> =5/13 (D)

cos(∠HOP) = |OH|/|OP| = (7/10+4/5)/(5/2-4/5) = 15/17です。


> {tan(∠HOP/2)}^2=(1-cos∠HOP)/(1+cos∠HOP)
> =8/18=4/9
> ={tan(∠DAF)}^2

tan((∠HOP)/2)^2 = (1-cos(∠HOP))/(1+cos(∠HOP)) = (1-15/17)/(1+15/17) = 1/16
よって、tan(∠DAF)^2 = (1/4)^2 = 1/16 = tan((∠HOP)/2)^2
No.87135 - 2024/01/03(Wed) 14:21:35
☆ Re: 円 / ひき肉です
お返事ありがとうございます。

Xさん

> 後半)
> 条件から△ABC∽△BCDゆえ
> BD=(BC/AB)BC=9/5
> ∴AD=5-9/5=16/5 (A)
> ∴円Pの半径をrとすると
> △OHPにおいて三平方の定理により
> (5/2-16/5+r)^2+r^2=(5/2-r)^2
> これをr＞0に注意して解くと
> r=6/5 (B)

WIZさんの指摘のr=4/5ではないでしょうか？
私も計算したらそうなりました。


> さて
> 条件から△EFPと△OHPに注目することにより
> ∠EFP=(1/2)HOP
> ∴∠DAF=∠(1/2)HOP (P)
> が示せれば、PF//ABにより、
> A,E,Fが同一直線上にある
> ことが示せますので、(P)を証明します。

この中で
> EFP=(1/2)HOP
がわかりません。これは成立すると言えるのでしょうか？



また回答を読んでおもいついたのですが

PF//AB、前半のO、P、Eが同一直線上にあることから同位角から
∠AOE＝∠FPE
が言えて、△EFPと△OHPは二等辺三角形であるので底角が等しいので△EFP∽△OHPである。
よって∠OEA＝∠PEFからA、E、Fは同一直線上にある。

ではダメでしょうか？
No.87136 - 2024/01/03(Wed) 15:40:28
☆ Re: 円 / WIZ
# 私が口を出すのは差し出がましいけど・・・。

> この中で
>> EFP=(1/2)HOP
> がわかりません。これは成立すると言えるのでしょうか？

△EFPは、|EP| = |FP| = r(円Pの半径)であり二等辺三角形と言えます。
よって、∠EFP = ∠FEPです。

直線OEの内、円Pの内部の部分を考えれば∠OPE = πです。
よって、∠FPO = π-∠EPF = π-(π-2∠EFP) = 2∠EFPとなります。

FP // HOなので、∠FPOと∠HOPは平行線の錯角となり、
2∠EFP = ∠FPO = ∠HOP
⇒ ∠EFP = (1/2)∠HOPとなります。

> PF//AB、前半のO、P、Eが同一直線上にあることから同位角から
> ∠AOE＝∠FPE
> が言えて、△EFPと△OHPは二等辺三角形であるので底角が等しいので△EFP∽△OHPである。
> よって∠OEA＝∠PEFからA、E、Fは同一直線上にある。

上記の△OHPが△AEOの書き間違いなら正しく、一番エレガントだと思います。
No.87139 - 2024/01/03(Wed) 18:10:24
☆ Re: 円 / X
＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞ひき肉ですさんへ
ごめんなさい。rの計算間違いを含め、
WIZさんの仰る通りです。
No.87141 - 2024/01/03(Wed) 18:28:46
☆ Re: 円 / ひき肉です
Xさん、WIZさん
理解できました。ありがとうございました。
No.87142 - 2024/01/03(Wed) 20:33:43