点線より下で何をしているのか分かりません。解説お願いします。
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No.87145 - 2024/01/03(Wed) 22:49:37
| ☆ Re: 数3 積分 / ast | | | 「面積を求めるべき領域は左ページの右下の図の通りなので,
[i] y=y_2(x), y=-a, x=πa/2 で囲まれた領域
[ii] y=-a, y=y_3(x), x=a で囲まれた領域
の合併で全領域を覆うことができて, 覆いすぎている
[iii] y=y_1(x), x=-a, x=πa/2 で囲まれた領域
[0] 円 (糸巻) 全体
を除けばいい」という至極泥臭いが当然の内容を, 各領域の面積をこれまた愚直に積分の式として書いてあるだけだと思います.
# もし「求めるべき領域 (とくに P が描く「円の伸開線」) を何もない状態からイメージを描け」
# というのであるならば初学者には酷な話となりもするだろうけれど, いまはそうではなくて,
# 式も図も揃った状態で面積を求めようというのだから, 積分と面積の関係というすごく基本的な話です.
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No.87148 - 2024/01/04(Thu) 03:12:50 |
| ☆ Re: 数3 積分 / ast | | | あなたの使う記号や用語が滅茶苦茶なので何言ってるのか全く分からない (例えば「区間」は一次元 (直線上) で考えるものなので下の区間とか上の区間とかどこを指したいのか分からない, 積分区間ということなら x に関する言及のはずなのに y についてしかあなたは述べていない. またf_2(x) は何 (とくに "_2" は何の 2) を表してる? ) のでもっときちんと内容を推敲してから書いてください.
もし
> y=f_2(x)とy=aで区間積分した場合、y=aより下の積分区間が出るのか
が "y=y_2(x) と y=-a で挟まれた領域" (の "y=y_2(x) と y=-a の交点の x-座標 x=-3πa/2" から x=πa/2 までの区間での積分): つまり No.87148[i] の領域 (の面積), の誤りという話ならば, [i] は y=-a の上側 (かつ y=y_2(x) の下側) の領域の話なのだから, y=-a より下側の領域の面積なんて出るわけがない.
図の y=-a よりも下側の領域の話は [ii] で, とくに y=y_2(x) はその領域には関わりが無いので疑問に思う理由が分からない.
# 関わりが無いといえば, y=-a と異なり直線 y=a はいずれの領域にもかかわりない.
> 数学2まではy=f_2(x)とy=aの上の区間、y=f_2(x)とy=aとy=-aの間の区間と積分してきました。
これも全く意味が分からない (とくに後者は概念として何がしたいのか分からないので, 実際に既習の内容を正しく表してないと思う) ので, この文の解釈を放棄することにするが, 一般論として数学2まででも (f(x),g(x) は例えば二次函数などに限るとしても,)
(*)「二つの曲線 y=f(x),y=g(x) が x 座標が x=α,x=β となるような2点で交わり, かつ α≤x≤β ならば常に f(x)≤g(x) となっているとき, 二つの曲線 y=f(x),y=g(x) で囲まれる領域の面積を求めよ」
というような積分の問題はきっと既出のはずだから, いまさら教えることなどないのではないか.
# 面積を得るのに最もつまづきやすい部分は「符号」の間違いで, それは
# ∫_[α,β]|f(x)-g(x)|dx のように絶対値を忘れずにつけるか,
# 曲線の上下を最初からきちんと意識して g(x)-f(x) (「上」引く「下」) の積分と思うか
# (どっちが覚えやすい・間違えにくい方法かは個人によって違うとは思うが)
# そういう形で十分に注意があったはずの内容だと思う.
## 例えばもし (上の設定と異なり) 途中で曲線の上下が入れ替わるような設定の問題では,
## 入れ替わる所で積分を分けた経験があるでしょ.
# いずれにせよ本問においては
# [i] では y=y_2(x) が「上」, y=-a が「下」;
# [ii] では y=-a が「上」, y=y_3(x) が「下」;
# [iii] では y=y_1(x) が「上」, y=-a が「下」
# になってるだけで, 面積が出る理由は全部 (*) と同じ理屈.
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No.87156 - 2024/01/04(Thu) 23:43:53 |
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