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記事No.87166に関するスレッドです
★ (No Subject) / りぢき
a(n)の一般項を求めてください。
No.87166 - 2024/01/10(Wed) 17:13:40
☆ Re: / WIZ
n ≧ 2のとき、k, mを未知数として漸化式の両辺にk(5^(n-1))+mを加えます。

a[n] = 3a[n-1]+2(5^(n-1))-2
⇒ a[n]+k(5^(n-1))+m = 3a[n-1]+(k+2)(5^(n-1))+(m-2)

ここで、k = 5(k+2)/3かつm = (m-2)/3となるようにk, mを定めます。
3k = 5k+10 ⇒ k = -5
3m = m-2 ⇒ m = -1
よって、
a[n]+(-5)(5^(n-1))-1 = 3a[n-1]+(-3)(5^(n-1))-3
⇒ a[n]-(5^n)-1 = 3{a[n-1]-(5^(n-1))-1}

上記から、a[n]-(5^n)-1は公比3の等比数列で、
初項はa[1]-(5^1)-1 = 3-5-1 = -3なので、
a[n]-(5^n)-1 = (-3)(3^(n-1)) = -(3^n)
⇒ a[n] = (5^n)-(3^n)+1

上記はn = 1でも成り立ちますので、一般項はa[n] = (5^n)-(3^n)+1となります。
No.87167 - 2024/01/10(Wed) 18:01:58
☆ Re: / りぢき
非常に大変ありがとうございます！！！
No.87169 - 2024/01/10(Wed) 20:07:40
☆ Re: / ast
蛇足:
本質的に上記 WIZ さんと同じ解法だが, 当該の漸化式は行列で (a[n]; 5^n; 1) = ((3,2,-2); (0,5,0); (0,0,1)) . (a[n-1]; 5^(n-1); 1) と書ける (ただし ";" は縦, "," は横に並べる) から, (a[n]; 5^n; 1) = ((3,2,-2); (0,5,0); (0,0,1))^(n-1) . (a[1]; 5^1; 1).
この行列の冪の計算は, 対角化すれば
　((3,2,-2); (0,5,0); (0,0,1)) = ((1;0;0), (1;1;0), (1;0;1)) . ((3,0,0); (0,5,0); (0,0,1)) . ((1;0;0), (1;1;0), (1;0;1))^(-1)
だから, もちろん ((1;0;0), (1;1;0), (1;0;1))^(-1). (a[n]; 5^n; 1) = (a[n]-5^n-1; 5^n; 1) に注意して,
　(a[n]-5^n-1; 5^n; 1) = ((3^(n-1),0,0); (0,5^(n-1),0); (0,0,1^(n-1))) . (a[1]-5^1-1; 5^1; 1)
と WIZ さんの回答と同じ形で書いてもいいが, 結局 (a[n]; 5^n; 1) = (-3^n+5^n+1; 5^n; 1).
No.87187 - 2024/01/12(Fri) 14:24:40