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記事No.87191に関するスレッドです
★ 円に内接する四角形 / ひき肉です
半径5の円Oに内接する四角形ABCDはAB=AD、CD=6、BCは直径である。さらにAからBCに垂線AEを引き、対角線あc、BDを引く。BDとAE、ACとの交点をそれぞれP、Qとする。
このとき、EAの延長とOQの延長の交点をRとしたとき、QRの長さを求めよ。


この問題の前の小問として
BQの長さを求めよ。
ABの長さを求めよ。
BP=PQを示せ。
というのがありました。
これらはそれぞれ
円周角を考えるとADが∠BCDの二等分線となるので角の二等分線と線分比の関係からBQ=5。
四角形が円に内接することからcos∠BAD=-3/5はわかり、△ABDで余弦定理からAB=2√5。
△ABEと△CBAは相似だから△ABPは二等辺三角形がわかり、そこで余弦定理からBP=5/2を得る。よってBP=PQ=5/2。
と解けました。

QRは四角形BORPでメネラウスを使うと思ったのですが、RPがわからなくて求まりません。

よろしくお願いします。
No.87191 - 2024/01/13(Sat) 17:26:23
☆ Re: 円に内接する四角形 / WIZ
QからBCに垂線をおろした足をFとすると、
△BQFは△BCDと相似で、辺の長さの比は3:4:5となります。
|BQ| = 5より、|BF| = 4, |QF| = 3
よって、xy座標でO(0, 0)とすると、Q(-1, 3)となります。
OとQを通る直線は(y-0)/(3-0) = (x-0)/(-1-0) ⇒ y = -3xとなります。

また、△BEPと△BCDも相似で、|BP| = 5/2より、|BE| = 4/2 = 2, |PE| = 3/2です。
よって、E(-3, 0)です。

Rのy座標はx = -3の時の直線y = -3xのyの値なので、R(-3, 9)となります。
以上から、|QR| = √{((-1)-(-3))^2+(3-9)^2} = 2√10となります。

# 計算間違いしている可能性がありますので、質問者さんの方で良く検算してみてください。
No.87192 - 2024/01/13(Sat) 19:16:53
☆ Re: 円に内接する四角形 / ひき肉です
WIZさん回答ありがとうございます。
理解できました。
No.87193 - 2024/01/13(Sat) 20:43:05