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記事No.87270に関するスレッドです
★ (No Subject) / あああ
この積分の途中式はどうなるのでしょうか。2倍角や3倍角やらを使って地道に計算するしかないのでしょうか。だとしたらものすごく面倒臭い計算になるので、もっと簡単なやり方があるのではと思ったのですが。どなたかご回答お願い致します。
No.87270 - 2024/01/23(Tue) 15:29:57
☆ Re: / ast
I[n]=∫[0,2π] cos(x)^(2n) dx と置けば
　I[n]=∫[0,2π] (sin(x))' cos(x)^(2n-1) dx
　= -∫[0,2π] sin(x) (2n-1)cos(x)^(2n-2)(-sin(x))dx
　= (2n-1)∫[0,2π](1-cos(x)^2)cos(x)^(2(n-1)) dx
　= (2n-1)I[n-1] - (2n-1)I[n].
∴ I[n]=(2n-1)I[n-1]/(2n).
　とくに I[2]=3I[1]/4=3I[0]/8=6π/8.
求めるのは I[2]-I[3]=I[2]-5I[2]/6=I[2]/6=π/8.
No.87272 - 2024/01/23(Tue) 16:45:01
☆ Re: / WIZ
べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

∫{cos(t)^4-cos(t)^6}dt
= ∫{(cos(t)^4)(1-cos(t)^2)}dt
= ∫{(cos(t)^4)(sin(t)^2)}dt
= (1/4)∫{(cos(t)^2)(sin(2t)^2)}dt
= (1/8)∫{(1+cos(2t))(sin(2t)^2)}dt
= (1/8)∫{sin(2t)^2+(sin(2t)^2)cos(2t)}dt
= (1/8)∫{(1-cos(4t))/2+(sin(2t)^2)(sin(2t)')/2}dt
= (1/16){t-sin(4t)/4+(sin(2t)^3)/3}

よって、
∫[0, 2π]{cos(t)^4-cos(t)^6}dt
= (1/16)[t-sin(4t)/4+(sin(2t)^3)/3]_[0, 2π]
= π/8
・・・と、直接計算しても大したことはないです。
No.87274 - 2024/01/23(Tue) 22:14:27