大学1年 積分漸化式についての質問です。
以下の問題の途中式をお教えいただけませんでしょうか。
答えはa=(4n+6)(n+2)、b=-(n+1)(n+2)です。
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No.87302 - 2024/01/30(Tue) 14:49:35
| ☆ Re: 大学1年・積分漸化式 / WIZ | | | べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
nは自然数と解釈して回答します。
計算の見通しを良くするためJ(n) = (x^n)((1-x)^n)とおきます。
I[n] = ∫[0, 1]{J(n)sin(x)}dxです。
J'(n+2) = {(x^(n+2))((1-x)^(n+2))}'
= (n+2)(x^(n+1))((1-x)^(n+2))+(x^n)(n+2)((1-x)^(n+1))(-1)
= (n+2){(x^(n+1))((1-x)^(n+2))-(x^n)((1-x)^(n+1))}
= (n+2){(1-x)-x}(x^(n+1))((1-x)^(n+1))
= (n+2)(1-2x)J(n+1)
J''(n+2) = {(n+2)(1-2x)J(n+1)}'
= (n+2){(-2)J(n+1)+(1-2x)*(n+1)(1-2x)J(n)}
= (n+2){(-2)J(n+1)+(n+1)(1-4x(1-x))J(n)}
= (n+2){(-2)J(n+1)+(n+1)(J(n)-4J(n+1))}
= (n+2){(-4n-6)J(n+1)+(n+1)J(n)}
I[n+2] = [J(n+2)(-cos(x))]_[0, 1]-∫[0, 1]{J'(n+2)(-cos(x))}dx
= ∫[0, 1]{J'(n+2)cos(x)}dx
= [J'(n+2)sin(x)]_[0, 1]-∫[0, 1]{J''(n+2)sin(x)}dx
= -∫[0, 1]{J''(n+2)sin(x)}dx
= -∫[0, 1]{(n+2){(-4n-6)J(n+1)+(n+1)J(n)}sin(x)}dx
= ∫[0, 1]{{2(n+2)(2n+3)J(n+1)-(n+1)(n+2)J(n)}sin(x)}dx
= 2(n+2)(2n+3)I[n+1]-(n+1)(n+2)I[n]
# x = 0及びx = 1で任意の自然数nに対してJ(n) = 0です。
以上から、a = 2(n+2)(2n+3), b = -(n+1)(n+2)
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No.87308 - 2024/01/30(Tue) 17:04:58 |
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