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記事No.87377に関するスレッドです
★ Σの計算 / Nishino (中学２年生)
Σの計算 かなりややこしい お手上げ状態

地味に計算していけば計算できるのでしょうが
スマートな計算方法はありませんか？

何卒よろしくお願い申し上げます。

以下問題
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No.87377 - 2024/02/06(Tue) 14:08:32
☆ Re: Σの計算 / IT
4項ですから単に計算するのが速いと思います。
No.87380 - 2024/02/06(Tue) 19:06:35
☆ Re: Σの計算 / Nishino (中学２年生)
IT先生

ご返信ありがとうございます。

一般に。この問題でKの範囲が,Σ［k=0→n］

ならどうなりますか？

教えてください。

何卒よろしくお願い申し上げます。
No.87381 - 2024/02/06(Tue) 21:54:06
☆ Re: Σの計算 / らすかる
Σ[k=0〜n](k+4)・(k+3)C3・(2/3)^k
=Σ[k=0〜n](k+4)・(k+3)(k+2)(k+1)/3!・(2/3)^k
=(1/6)Σ[k=0〜n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k … (1)
S1=Σ[k=0〜n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k とおくと
(1/3)S1=S1-(2/3)S1
=Σ[k=0〜n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=0〜n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^(k+1)
=Σ[k=0〜n](k+4)(k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=1〜n+1](k+3)(k+2)(k+1)k・(2/3)^k
=24+4Σ[k=1〜n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1) … (2)
S2=Σ[k=1〜n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k とおくと
(1/3)S2=S2-(2/3)S2
=Σ[k=1〜n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=1〜n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^(k+1)
=Σ[k=1〜n](k+3)(k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=2〜n+1](k+2)(k+1)k・(2/3)^k
=16+3Σ[k=2〜n](k+2)(k+1)・(2/3)^k
-(n+3)(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1) … (3)
S3=Σ[k=2〜n](k+2)(k+1)・(2/3)^k とおくと
(1/3)S3=S3-(2/3)S3
=Σ[k=2〜n](k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=2〜n](k+2)(k+1)・(2/3)^(k+1)
=Σ[k=2〜n](k+2)(k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=3〜n+1](k+1)k・(2/3)^k
=16/3+2Σ[k=3〜n](k+1)・(2/3)^k
-(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1) … (4)
S4=Σ[k=3〜n](k+1)・(2/3)^k とおくと
(1/3)S4=S4-(2/3)S4
=Σ[k=3〜n](k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=3〜n](k+1)・(2/3)^(k+1)
=Σ[k=3〜n](k+1)・(2/3)^k
-Σ[k=4〜n+1]k・(2/3)^k
=32/27+Σ[k=4〜n](2/3)^k
-(n+1)・(2/3)^(n+1)
=32/27+{3(1-(2/3)^(n+1))-65/27}
-(n+1)・(2/3)^(n+1)
=16/9-(n+4)・(2/3)^(n+1)
∴S4=16/3-3(n+4)・(2/3)^(n+1)
(4)に代入して
(1/3)S3=16/3+2{16/3-3(n+4)・(2/3)^(n+1)}-(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1)
=16-(n^2+9n+26)・(2/3)^(n+1)
∴S3=48-3(n^2+9n+26)・(2/3)^(n+1)
(3)に代入して
(1/3)S2=16+3{48-3(n^2+9n+26)・(2/3)^(n+1)}-(n+3)(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1)
=160-(n^3+15n^2+92n+240)・(2/3)^(n+1)
∴S2=480-3(n^3+15n^2+92n+240)・(2/3)^(n+1)
(2)に代入して
(1/3)S1=24+4{480-3(n^3+15n^2+92n+240)・(2/3)^(n+1)}-(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)・(2/3)^(n+1)
=1944-(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^(n+1)
∴S1=5832-3(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^(n+1)
従って
(与式)=(1/6){5832-3(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^(n+1)}
=972-(1/2)(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^(n+1)
=972-(1/3)(n^4+22n^3+215n^2+1154n+2904)・(2/3)^n
No.87382 - 2024/02/06(Tue) 22:41:03
☆ Re: Σの計算 / Nishino (中学２年生)
ラスカル先生

今晩は

ご回答ありがとうございます。

質問ですが

(k+4)ₖ₊₃C₃ (⅔)ᵏ
=(k+4)•(k+3)(k+2)(k+1)/3! •pᵏ
=⅙•(pᵏ⁺⁴)’’’’ 4階微分)


よって
Σₖ₌₀ⁿ (k+4)•ₖ₊₃C₃ pᵏ
=⅙Σₖ₌₀ⁿ (pᵏ⁺⁴)’’’’
=⅙(Σₖ₌₀ⁿ pᵏ⁺⁴)’’’’
=⅙ { p⁴(1-pⁿ⁺¹)/(1-p) }’’’’

この結果から、実際に、n=4 を計算するとなると

4階微分するのはとても大変になってしまいます

何かアドバイスいただけると幸いです
No.87383 - 2024/02/07(Wed) 00:05:52
☆ Re: Σの計算 / らすかる
大変だと思ったらその方法は諦めて別の方法にすればよいと思いますが、
その式の4階微分ぐらいなら何時間もかかる計算ではありませんので、
やる気を出せば計算できると思います。
実際にやってみました。
まず直接やるのはちょっと大変なので最初に{p^k/(1-p)}''''を計算します。
すると
{p^k/(1-p)}'
=p^(k-1){k-(k-1)p}/(1-p)^2
{p^k/(1-p)}''
=p^(k-2){k(k-1)-2k(k-2)p+(k-2)(k-1)p^2}/(1-p)^3
{p^k/(1-p)}'''
=p^(k-3){k(k-1)(k-2)-3k(k-1)(k-3)p+3k(k-2)(k-3)p^2-(k-1)(k-2)(k-3)p^3}/(1-p)^4
{p^k/(1-p)}''''
=p^(k-4){k(k-1)(k-2)(k-3)-4k(k-1)(k-2)(k-4)p+6k(k-1)(k-3)(k-4)p^2
-4k(k-2)(k-3)(k-4)p^3+(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)p^4}/(1-p)^5
のように求まります。
そして求めたいものは
(1/6){(p^4-p^(n+5))/(1-p)}''''
なので、上の式のkに4を代入したものからn+5を代入したものを引いて6で割ればよく、
(1/6){(p^4-p^(n+5))/(1-p)}''''
={(1/6)p^4/(1-p)}''''-{(1/6)p^(n+5))/(1-p)}''''
=4/(1-p)^5
-(1/6)p^(n+1){(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)-4(n+5)(n+4)(n+3)(n+1)p
+6(n+5)(n+4)(n+2)(n+1)p^2-4(n+5)(n+3)(n+2)(n+1)p^3
+(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)p^4}/(1-p)^5
そしてこれにp=2/3を代入して整理すれば、私が上に書いた式が得られます。
n=4だけ計算したいのであれば、ITさんが書かれているように素直に計算するのが最も早いと思います。
No.87384 - 2024/02/07(Wed) 01:49:01
☆ Re: Σの計算 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生

ご丁寧なご解説ありがとうございました。
No.87392 - 2024/02/09(Fri) 03:28:13