今日の入学試験の問題なのですが、どうしても分からなくて、解答速報にも解説が載っていなかった為、分量多くて申し訳ないのですが、解けるところまでお願いしたいです。よろしくお願いいたしますm(_ _)m
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No.87388 - 2024/02/08(Thu) 22:52:26
| ☆ Re: カテナリー曲線 / ast | | | # 全部を詳らかに書くつもりはないが (発想を求められるであろう部分だけ):
(1) L(a)=∫_[0,a] √(1+f'(x)^2)dx
=∫_[0,a]√(1+g(x)^2)dx = ∫_[0,a]√(f(x)^2)dx = ∫_[0,a]f(x)dx = ∫_[0,a]g'(x)dx
=g(a)−g(0)=g(a).
(2) f(a)^2−g(a)^2=1, g(a)(=L(a))=1 から f(a)(>0) が, また f(a)+g(a) から (あるいは (L(a)=)g(a)=1 ⇔ (e^a)^2−2(e^a)−1=0 を e^a について解いて) e^a を得れば a (や f(a)) が, 自ずと出るはず.
(3) x_k (k=0,…,n) が C_a を n 等分する ⇔ (g(x_k)=)L(x_k)=kL(a)/n=k/n (k=0,…,n).
∴ f(x_k)=√(1+g(x_k)^2)=√(1+(k/n)^2).
これを代入して区分求積.
(4) I:= ∫_[0,1] √(1+t^2)dt
= ∫_[0,a] f(u)g'(u)du = [f(u)g(u)]_[0,a] − ∫_[0,a] f'(u)g(u)du
= (f(a)g(a)−f(0)g(0)) − ∫_[0,a](f(u)^2 − 1)du = f(a)g(a) − (I − a).
∴ I=(f(a)g(a)+a)/2 (もちろん a および f(a) の値は (2) で既知)
=(f(a)+a)/2. (∵g(a)=1)
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f(x) および g(x)はそれぞれ, 双曲線余弦函数 cosh(x) および双曲線正弦函数 sinh(x) といって, (円に対する)三角函数の双曲線の場合に対する対応物なので, 「本問の三角函数版がどんな問題であるべきか」とか「本問の三角函数版があったらどんな解き方をするか」あたりを考えると, もしかしたら腑に落ちる部分もあるやも.
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No.87389 - 2024/02/09(Fri) 01:43:50 |
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