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記事No.87448に関するスレッドです
★ 比例式 / Nishino (中学２年生)
比例式

何卒宜しくお願いします

次の比例式を示せる方教えてください

※ できれば、実際に、Σの計算をせず理屈でお願い致します。

問題
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No.87448 - 2024/02/16(Fri) 14:48:21
☆ Re: 比例式 / らすかる
n+1個から3個(左から順にA,B,Cとする)選ぶことを考える。

AとCの間隔で分類すると
AとCの間がn-1個になるのは1通り→Bの位置の選び方はn-1通り
AとCの間がn-2個になるのは2通り→Bの位置の選び方はn-2通り
AとCの間がn-3個になるのは3通り→Bの位置の選び方はn-3通り
・・・
AとCの間が1個になるのはn-1通り→Bの位置の選び方は1通り
∴合計はΣ[k=1〜n-1]k(n-k)=Σ[k=1〜n]k(n-k)通り

Cの位置で分類すると
Cが左から3番目になるのが2×1÷2通り
Cが左から4番目になるのが3×2÷2通り
Cが左から5番目になるのが4×3÷2通り
・・・
Cが左からn+1番目になるのがn×(n-1)÷2通り
∴合計は(1/2)Σ[k=2〜n]k(k-1)=(1/2)Σ[k=1〜n]k(k-1)

よってΣ[k=1〜n]k(n-k)=(1/2)Σ[k=1〜n]k(k-1)なので
Σ[k=1〜n]k(n-k)：Σ[k=1〜n]k(k-1)=1：2
No.87451 - 2024/02/16(Fri) 18:25:44
☆ Re: 比例式 / IT
らすかるさんの証明けっこうたいへんですね。
しんぷるに計算するか、
それぞれ差分を計算して、数学的帰納法で示すかですかね（Σ計算はやってしまいますが）

中学２年生だけどΣは既習のようですが、「差分」、「数学的帰納法」は、分かりますか？
No.87453 - 2024/02/17(Sat) 04:41:44
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生に

ご丁寧なご解説いつもありがとうございます。

大分スッキリしました。

今回も親身になってご対応くださりありがとうございます
No.87458 - 2024/02/17(Sat) 13:19:13
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
IT先生、こんにちは


>「差分」、「数学的帰納法」は、分かりますか？

大丈夫です

ご回答いただけますと幸いです。
No.87459 - 2024/02/17(Sat) 13:22:14
☆ Re: 比例式 / IT
f(n)=Σ[k=1〜n]k(n-k),g(n)=Σ[k=1〜n]k(k-1)とおく

f(n+1)=Σ[k=1..n+1]k(n+1-k)
=Σ[k=1〜n]k(n+1-k)
=Σ[k=1〜n]k(n-k)+Σ[k=1〜n]k

∴f(n+1)-f(n)=n(n+1)/2

一方、g(n+1)-g(n)=(n+1)n

よって f(n+1)-f(n):g(n+1)-g(n)=1:2
したがって、f(n):g(n)=1:2 であれば、f(n+1):g(n+1)=1:2
また、f(1)=0,g(1)=0 なので　f(1):g(1)=1:2 が成立

以上から数学的帰納法により任意の自然数nについてf(n):g(n)=1:2
No.87465 - 2024/02/17(Sat) 14:36:45
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
IT先生

おはようございます！

分かりやすい解説ありがとうございました

私も問題を見たときに、帰納法を試みましたが

挫折したので、大変勉強になりました

また、よろしくお願いいたします
No.87470 - 2024/02/18(Sun) 08:47:44
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
IT先生

おはようございます！

分かりやすい解説ありがとうございました

私も問題を見たときに、帰納法を試みましたが

挫折したので、大変勉強になりました

また、よろしくお願いいたします
No.87472 - 2024/02/18(Sun) 09:38:58
☆ Re: 比例式 / らすかる
実は、最初は数学的帰納法で回答しようと思ったのですが
「Σの計算をせず理屈で」に反するような気がしたので、
それならば組合せ論ぐらいしかないかな、と思って
上のような回答になった次第です。
No.87477 - 2024/02/18(Sun) 13:56:50
☆ Re: 比例式 / IT
もう一度、差分をとれば、「直接的にはΣ計算をしない」で済みますが、かえって複雑になると思い止めました。
No.87478 - 2024/02/18(Sun) 14:47:15
☆ Re: 比例式 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生、IT先生

最後までお付き合いいただきありがとうございました
No.87494 - 2024/02/20(Tue) 09:02:11