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記事No.87572に関するスレッドです
★ 慶応義塾大学 期待値 / Nishino (中学２年生)
慶応義塾大学 期待値

何卒宜しくお願いします

以下問題

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No.87572 - 2024/02/29(Thu) 18:42:49
☆ Re: 慶応義塾大学 期待値 / X
(1)
条件から
P{x[n]=k}=(1/6)(5/6)^(k-1)

(2)
(1)の結果から
E(x[n])=Σ[k=1〜n]kP{x[n]=k}
=Σ[k=1〜n]k(1/6)(5/6)^(k-1) (A)
(A)-(A)×5/6より
(1/6)E(x[n])=1/6+Σ[k=2〜n](1/6)(5/6)^(k-1)-n(1/6)(5/6)^n
(1/6)E(x[n])=(1/6){1-(5/6)^n}/(1-5/6)-n(1/6)(5/6)^n
(1/6)E(x[n])=1-(n+6)(1/6)(5/6)^n
∴E(x[n])=6-(n+6)(5/6)^n

(3)
(2)の結果より
lim[n→∞]E(x[n])=lim[n→∞]{6-(n+6)(5/6)^n} (B)
ここでn→∞を考えるので、
n≧3
と考えても問題ないことに注意すると、
(n+6)(5/6)^n=(n+6)/(1+1/5)^n
=(n+6)/Σ[j=0〜n](nCj)(1/5)^j (∵)二項定理
＜(n+6)/{nC0+(nC1)(1/5)+(nC2)(1/5)^2}=(1+6/n)/{1/n+1/5+(n-1)/50}
∴0＜(n+6)(5/6)^n＜(1+6/n)/{1/n+1/5+(n-1)/50}
となるのではさみうちの原理により
lim[n→∞](n+6)(5/6)^n=0
∴(B)より
lim[n→∞]E(x[n])=6
No.87573 - 2024/02/29(Thu) 20:40:27
☆ Re: 慶応義塾大学 期待値 / WIZ
> Xさん
計算間違いをされています。

> (1/6)E(x[n])=(1/6){1-(5/6)^(n-1)}/(1-5/6)-n(1/6)(5/6)^n
> (1/6)E(x[n])={1-(5/6)^(n-1)}-n(1/6)(5/6)^n
> ∴E(x[n])=6{1-(5/6)^(n-1)}-n(5/6)^n
上記だとE(x[1]) = 6{1-(5/6)^(1-1)}-1*(5/6)^1 = -5/6となってしまい不条理です。
実際はE(x[1]) = Σ[k=1,1]{1*P{x[1]=1}} = 1*(1/6)((5/6)^(1-1)) = 1/6です。

正しい計算は
(1/6)E(x[n]) = (1/6){1-(5/6)^n}/(1-5/6)-n(1/6)(5/6)^n
= {1-(5/6)^n}-n(1/6)(5/6)^n
= 1-(1+n/6)(5/6)^n
⇒ E(x[n]) = 6-(6+n)(5/6)^n
だと思います。

# lim[n→∞]E(x[n]) = 6となるのは同じです。
No.87574 - 2024/02/29(Thu) 22:19:56
☆ Re: 慶応義塾大学 期待値 / Nishino (中学２年生)
X先生、WIZ先生、

こんばんは

ご解説ありがとうございました。

以下答案です

ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。
No.87575 - 2024/03/01(Fri) 01:47:24
☆ Re: 慶応義塾大学 期待値 / X
＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞Nishinoさんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。
No.87573を直接修正しましたので、再度ご覧下さい。

＞＞ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。
(2)の最初の行の一番右の式の中の符号が間違っています。
＞＞6{1-(5/6)^n…}
ではなくて
6{1+(5/6)^n…}
ですね。
その他については誤りは見当たりません。
No.87580 - 2024/03/01(Fri) 16:13:31
☆ Re: 慶応義塾大学 期待値 / Nishino (中学２年生)
X先生、

こんばんは

ご指摘ありがとうございます。
No.87592 - 2024/03/02(Sat) 19:32:38