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記事No.87616に関するスレッドです
★ 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / もりすけ
黄色チャートの問題なのですが、模範解答とは違う解法をしたところ、余分な解が出てきてしまいました。おそらく回答過程で同値関係が崩れてしまったのだと考えているのですが、どこで間違えているのか、なぜ間違えているのかを教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。
No.87615 - 2024/03/05(Tue) 02:19:56
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / もりすけ
すみません。
画像が荒くて見えづらいので一つずつ送りなおします。
No.87616 - 2024/03/05(Tue) 02:23:25
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / もりすけ
二枚目です
No.87617 - 2024/03/05(Tue) 02:24:09
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / もりすけ
三枚目です
No.87618 - 2024/03/05(Tue) 02:24:40
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / らすかる
同値関係が崩れているのは
> これらが2次方程式x^2+bx+a=0…(ii)の解になるので
> x=-a,x=bをそれぞれ(ii)に代入しても成り立つ
の部分です。つまり
「-aとbが2次方程式x^2+bx+a=0の解」⇒「x=-a,x=bをそれぞれ代入しても成り立つ」
は正しいですが、逆が正しくありません。お察しの通り-a=bの場合に問題があります。
つまり-a=bの場合は
「bが2次方程式x^2+bx+a=0の全解」⇒「x=bを代入して成り立つ」
という意味になりますので、x^2+bx+a=0の解がx=bと他の値である場合も
成り立ってしまいます。
従って求めた答えで-a=bとなった場合は、x^2+bx+a=0の解でbでないものが
存在すれば（すなわちbが重解でなければ）不適となります。
No.87619 - 2024/03/05(Tue) 04:19:24
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / もりすけ
丁寧なご回答ありがとうございます。

理解を深めるため自分なりの言葉で要点をまとめましたので誤りがありましたらご指摘ください。

-a≠bのとき、「-aとbが2次方程式x^2+bx+a=0の解」⇔「x=-a,x=bをそれぞれ代入して成り立つ」は正しい。
しかし、
-a=bのとき、「bとbが2次方程式x^2+bx+a=0の解（bが重解）」⇒「x=bを代入して成り立つ」は正しいが、逆は正しくない。（反例：2次方程式x^2+bx+a=0の解がx=b,x=(b以外の値)のとき）
ゆえに、-a＝ｂのとき得られたa=-1/2,b=1/2についてはx^2+bx+a=0に代入して、この2次方程式がx=b=1/2という重解をもつか十分性を確認する必要がある。
重解を持つならば、a=-1/2,b=1/2も適する。
重解を持たないならば、a=-1/2,b=1/2は不適。
今回の場合、
a=-1/2,b=1/2をx^2+bx+a=0に代入して得られた2次方程式x^2+1/2x-1/2=0はx=1/2の他にx=-1を解に持つので、a=-1/2,b=1/2は不適である。


また、このような同値性を練習できるような単元や問題（高校数学までの範囲）、同値性が関わる問題を解くときの意識すべきことや知っておくべき知識など、役に立ちそうなことを何でも教えていただけたら幸いです。
No.87629 - 2024/03/05(Tue) 17:32:23
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / らすかる
同値性が問題になるようなケースはそれほど多くないと思います。具体的に思い出せるのは、根号の付いた方程式で両辺を2乗するときとか、2乗以上の連立方程式を解くような場合ぐらいですね。なので、それ以外の場合の同値性については私も結構不注意かも知れません。
ただし私は、答えが元の条件を満たすかどうかという確認は（同値変形しかしていないつもりであっても）ほぼ毎回行いますので、今回の問題を同じ解き方で解いたとしても不適解には気づいたと思います。同値性を気にするかどうかにかかわらず、答えの確認の癖は付けた方が良いのではないかと思います。そうすれば、少なくとも不適解を解答してしまうことは避けられますね。
No.87633 - 2024/03/06(Wed) 00:43:46
☆ Re: 解と係数の関係（高校2年生数学?U） / もりすけ
ご回答ありがとうございます。
「答えを確認する癖」意識していきたいと思います。そのうえで、なぜ不適解が出てきてしまうのかという理論の部分まで考察できるように精進していきたいです。

らすかる様、この度は誠にありがとうございました。
No.87638 - 2024/03/06(Wed) 23:29:46