(2)(3)を教えていただきたいです。
(1)は順に1/3, 11/45, 681/4050となりました。もし違うのであればご指摘お願いします。
![]() |
No.87630 - 2024/03/05(Tue) 20:56:45
| ☆ Re: 確率 期待値 / WIZ | | | (2)(a)
現状で残り球数は、n ≧ 1かつ(赤, 青, 白) = (L, M, n)個として、S = L+M+nとおきます。
白がn個ある状態で、後m回でゲーム終了となる確率をp(n, m)とします。
p(n, 1) = (赤) = L/S
p(n, 2) = (青赤)+(白赤)
= (M/S)(L/S)+(n/S)(L/(S-1))
= (M/S)p(n, 1)+(n/S)p(n-1, 1)
p(n, 3) = (青){(青赤)+(白赤)}+(白){(青赤)+(白赤)}
= (M/S){(M/S)(L/S)+(n/S)(L/(S-1))}+(n/S){(M/(S-1))(L/(S-1))+(n/(S-1))(L/(S-2))}
= (M/S)p(n, 2)+(n/S)p(n-1, 2)
一般に、mを2以上の整数として
p(n, m) = (M/S)p(n, m-1)+(n/S)p(n-1, m-1)
となると推論できます。
厳密ではありませんが、確率p(n, m)は、
青を引き(確率 = M/S)、白がn個のまま後m-1回でゲーム終了となる(確率 = p(n, m-1))か、
白を引き(確率 = n/S)、白がn-1個となり後m-1回でゲーム終了となる(確率 = p(n-1, m-1))
という確率の和であるということで証明に代えさせて頂きます!
G(n)とは終了となるまでのゲーム回数の期待値だから、
G(n) = Σ[m=1, ∞]{p(n, m)*m}
= p(n, 1)*1+Σ[m=2, ∞]{p(n, m)*m}
= L/S+Σ[m=2, ∞]{{(M/S)p(n, m-1)+(n/S)p(n-1, m-1)}*m}
= L/S+Σ[m=1, ∞]{{(M/S)p(n, m)+(n/S)p(n-1, m)}*(m+1)}
= L/S+Σ[m=1, ∞]{{(M/S)p(n, m)+(n/S)p(n-1, m)}*m}+Σ[m=1, ∞]{(M/S)p(n, m)+(n/S)p(n-1, m)}
ここで、確率の総和なので、
Σ[m=1, ∞]p(n, m) = 1
Σ[m=1, ∞]p(n-1, m) = 1
と考えられるので(厳密なのか?)
⇒ G(n) = L/S+(M/S)*G(n)+(n/S)*G(n-1)+M/S+n/S
⇒ S*G(n) = L+M*G(n)+n*G(n-1)+M+n
⇒ (S-M)*G(n) = (L+n)*G(n) = L+M+n+n*G(n-1)
・・・と目的の式は導けます。
# 不備だらけだと思いますので、識者の方のツッコミよろしくお願いいたします!
|
No.87645 - 2024/03/07(Thu) 12:00:33 |
|
