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記事No.87649に関するスレッドです
★ 整数問題-０5 学習院大学大学 / Nishino (中学２年生)
整数問題-０5 学習院大学大学

おはようございます。
雪が降っております。ご自愛くださいませ。

何卒宜しくお願いします

以下問題

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No.87649 - 2024/03/08(Fri) 06:52:26
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / X
問題の等式から
m^2-1=2^n
(m+1)(m-1)=2^n
∴正の整数の組(m,n)の候補に対し
m+1=2^k (A)
m-1=2^(n-k) (B)
(但し、k=0,1,…,n)
(A)-(B)より
2^k-2^(n-k)=2
∴2^n={2^(k-1)-1}・2^(k+1) (B)'
ここで
2^(k-1)-1は偶数にはなりえない
ことに注意すると
2^(k-1)-1=1
∴k=2
このとき(A)(B)'から
(m,n)=(3,3)
No.87656 - 2024/03/08(Fri) 19:24:29
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / Nishino (中学２年生)
X先生

こんばんは

お久しぶりです。

回答読ませていただきました

以下答案です

------------------------------

ありがとうございます。

大筋、私も同じ考え方をしました
No.87664 - 2024/03/09(Sat) 01:37:50
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / X
＞＞(m+1)-(m-1)=(2^k)(k-1)=2
とありますが
(m+1)-(m-1)=(2^k)(k-1)
とした根拠は何ですか？
No.87669 - 2024/03/09(Sat) 16:49:55
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / Nishino (中学２年生)
X先生

こんにちは

返信が遅くなり申し訳ありません

早速ですが

>(m+1)-(m-1)=(2^k)(k-1)とした根拠は何ですか？

m+1>m-1, かつ、(m+1)-(m-1)=2

から

(m+1)=2^(k+1)と置くなら,
(m-1)=2^k と置く他ありません
No.87682 - 2024/03/10(Sun) 15:50:48
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / X
いえ、
m+1=2^(k+1) (A)
m-1=2^k (B)
と置くことができることは分かります。
そうではなくて、何故そのとき
＞＞(m+1)-(m-1)=(2^k)(k-1)
と変形できるか、ということです。
(A)(B)のとき
(m+1)-(m-1)=(2^k)(2-1)=2^k
ではありませんか？
No.87683 - 2024/03/10(Sun) 16:58:22
☆ Re: 整数問題-０5 学習院大学大学 / Nishino (中学２年生)
X先生

こんにちは

>(m+1)-(m-1)=(2^k)(2-1)=2^k

申し訳ございません。その通りですね

ここから、k=1 と保証できます

ご指摘ありがとうございます。
No.87684 - 2024/03/10(Sun) 17:30:02