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記事No.87681に関するスレッドです
★ 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
こんにちは

整数問題-０7 京都大学過去問

何卒宜しくお願いします

以下問題

------------------------------
No.87681 - 2024/03/10(Sun) 15:38:22
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
a≧3かつb≧3とすると(左辺)≧18c、(右辺)≦17cなので解なし、よってa=2またはb=2
a=2を代入して整理すると(2b-5)(4c-5)=33となり、この式とb＜cを満たす解はない。
b=2を代入して整理すると(2a-5)(2c-1)=15となり、この式とa＜cを満たす解は(a,c)=(3,8)のみ。
従って条件を満たす解は(a,b,c)=(3,2,8)
No.87686 - 2024/03/10(Sun) 18:39:17
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / IT
少し違う解答のポイント（完成答案ではないです）
右辺＜17c なので ab≦8
またa,b は2以上で互いに異なるのでab≧6
よってab=6,8

左辺は偶数なのでbは偶数。
以上から(a,b)=(3,2),(2,4),(4,2)　後は簡単。
No.87688 - 2024/03/10(Sun) 19:09:37
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生

こんばんは

お久しぶりです

ご回答ありがとうございます。

早速ですが

>a≧3かつb≧3とすると(左辺)≧18c、‥?@
>(右辺)≦17cなので解なし、よってa=2またはb=2…?A

?@の不等式は、a≧3かつb≧3とすると仮定して評価されていますが、

a≧4かつb≧4とすると(左辺)≧32c
右辺)≦17cなので解なし、よってa=3,2またはb=3,2

とも考えられませんか

何卒宜しくお願いします
No.87689 - 2024/03/10(Sun) 19:50:41
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
a≧3かつb≧3で成り立たないのですから、3を大きくしても意味がありません。
a≧10かつb≧10とかでも同じことが言えますが、何か意味がありますか？
No.87699 - 2024/03/10(Sun) 22:00:32
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生
こんばんは

a≧4かつb≧4とすると(左辺)≧32c
右辺)≦17cなので解なし、よってa=3,2またはb=3,2

>a≧3かつb≧3で成り立たない

此れは、右辺)≦17cなので解なしを意味するもので

a=3,2またはb=3,2の場合を考慮しないでもいいわけではない



とは言えない


何が成り立たないのでしょうか
No.87700 - 2024/03/10(Sun) 23:27:05
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
何を言いたいのかわかりません。
「何が成り立たないのでしょうか」の「成り立つ」が何を指しているのかもわかりません。
例えば
a≧10かつb≧10とすると(左辺)≧200c
(右辺)≦17cなので解なし、よってa=2,3,4,5,6,7,8,9またはb=2,3,4,5,6,7,8,9
としたらa=2,3,4,5,6,7,8,9とb=2,3,4,5,6,7,8,9の考慮が必要
と言いたいのですか？
数字を大きくすれば解の存在範囲を絞れないだけのことなので
a≧4かつb≧4とするのは全く意味がないことだと思いますが。
単に
a≧3かつb≧3で始めたらa=2とb=2だけ考慮すればよい
a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮すればよい
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮すればよい
という考え方が正しいか、という意味でしたら正しいですが、そういうことでしょうか。
No.87707 - 2024/03/11(Mon) 02:05:27
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生

夜遅くまでありがとうございます。

早速ですが

ラスカル先生の論法ですと

>数字を大きくすれば解の存在範囲を絞れない

のです

>a≧3かつb≧3

だけから議論を始めた事に誤りがあるのではないでしょうか

>a≧3かつb≧3で始めたらa=2とb=2だけ考慮すればよい
a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮すればよい
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮すればよい

そのとらえ方で相違ありません

a≧3かつb≧3　のみで始めた論法は一般性を欠くと思われます
No.87708 - 2024/03/11(Mon) 02:54:42
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
なぜa≧3かつb≧3から始めるのが誤りなのですか？
なぜ一般性を欠くのですか？
a≧4かつb≧4から始めたら一般性を欠かないのですか？
「a≧3かつb≧3」の否定は「a＜3またはb＜3」なので
「a≧3かつb≧3のとき解なし」ならば
「解があるのはa＜3またはb＜3のとき」
この論理のどこに問題がありますか？
No.87710 - 2024/03/11(Mon) 02:59:32
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
>a≧4かつb≧4から始めたら一般性を欠かないのですか？

これも一般性を欠きます


数字を大きくすれば解の存在範囲を絞れない

では議論になりません。
No.87711 - 2024/03/11(Mon) 03:17:27
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)

------------------------------------
「a≧3かつb≧3」の否定は「a＜3またはb＜3」なので
「a≧3かつb≧3のとき解なし」ならば
「解があるのはa＜3またはb＜3のとき」
この論理のどこに問題がありますか？
--------------------------------------

問題ないと思われます
No.87712 - 2024/03/11(Mon) 03:22:43
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
問題ないのに、なぜ「一般性を欠く」とか「議論にならない」ということになるのですか？
解の範囲を絞るために
「条件Aを仮定すると解が存在しないから、
解が存在するためには条件Aを満たさない場合だけを考えればよい」
のように考えるのは全くもって普通の解き方だと思いますが、
これの何が悪いのですか？
No.87713 - 2024/03/11(Mon) 03:26:43
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
そもそも、
a≧3かつb≧3

から始めた議論です

その議論が

数字を大きくすれば解の存在範囲を絞れない

では、一般的な議論はできません
No.87714 - 2024/03/11(Mon) 03:33:08
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
それが理解できません。
解の範囲をなるべく狭く絞りたいから、
右辺の係数2+5+10=17から
17より大きい18になるように
2×3×3=18からa≧3,b≧3とすれば最大限に絞れる
という考え方で決めた数です。
数字を大きくすると解の存在範囲を絞れないのではなく、
解の候補が多くなってその後が面倒になるだけで
別にa≧4かつb≧4から始めても問題はありません。
「一般的な議論」が何のことを言っているのか
いまだにサッパリわかりませんので、
何を意味しているのか具体的に書いてもらえませんか？
No.87715 - 2024/03/11(Mon) 03:42:43
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)


ラスカル先生は
a≧3,b≧3

から始めて

a≧4かつb≧4

仮に

a≧pかつb≧p とすると

ラスカル様の論法では

考慮すべきpは無限大に存在します

それを一般的に扱えますか
No.87716 - 2024/03/11(Mon) 04:10:49
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
この問題では、「考慮すべきp」は無限には存在しません。
（例えばp=10などは考慮するだけ無駄なので、「考慮すべきではありません」。）
p=3だけ考慮すれば十分であり、4以上のpは考慮する必要がありません。
p=3の考慮だけで全く正しく問題が解けているのに、なぜ4以上を考慮する必要があるのですか？
No.87717 - 2024/03/11(Mon) 04:16:03
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
>この問題では、「考慮すべきp」は無限には存在しません。

全くその通りです

ただ、ラスカル様の論法では

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a≧3かつb≧3で始めたらa=2とb=2だけ考慮すればよい
a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮すればよい
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮すればよい

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無限に存在します。
No.87718 - 2024/03/11(Mon) 04:24:14
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
「考慮可能なもの」は無限に存在しますが
「考慮すべきもの」は無限ではありません。
「考慮可能なものが無限に存在する」ということは、すなわち「解き方が無限に存在する」ということになるだけで、その無限にある解き方のうち最も簡単なものが「a≧3かつb≧3」ですから、この条件にするのが最適です。
No.87719 - 2024/03/11(Mon) 04:32:57
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)

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その無限にある解き方のうち最も簡単なもの

が「a≧3かつb≧3」ですから、この条件にするのが最適です。

------------------------------------------

此れは議論ではありません

「最も簡単なもの」これは主観です
No.87720 - 2024/03/11(Mon) 04:51:37
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
>「考慮すべきもの」は無限ではありません。
「考慮すべきもの」此れは主観ですか？
No.87721 - 2024/03/11(Mon) 05:02:51
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
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a≧3かつb≧3で始めたらa=2とb=2だけ考慮すればよい
a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮すればよい
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮すればよい
という考え方が正しいか、という意味でしたら正しいです
-------------------------------------------
つまり、無限大に考慮しなければなりません。
No.87722 - 2024/03/11(Mon) 05:12:03
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
> 「最も簡単なもの」これは主観です
主観ではありません。
a≧3かつb≧3のときに解がないことが示せれば、
解を調べるのはa=2とb=2の二つだけです。
これをa≧4かつb≧4にするとa=2,3とb=2,3の4つ、
a≧5かつb≧5にするとa=2,3,4とb=2,3,4の6つですから、
どう考えても「a≧3かつb≧3」とするのが最も簡単です。

> 「考慮すべきもの」此れは主観ですか？
主観ではありません。
例えば「a≧3かつb≧3のときに解がない」ことが示せれば、
自動的に
「a≧4かつb≧4のときに解がない」
「a≧5かつb≧5のときに解がない」
・・・
も成り立ちますので、「考慮すべきもの」は一つしかありません。
もし何かの勘違いで
「a≧4かつb≧4のときに解がない」
を示してしまったとしても、やはり自動的に
「a≧5かつb≧5のときに解がない」
「a≧6かつb≧6のときに解がない」
・・・
も成り立ちますので、同じく「考慮すべきもの」は一つしかありません。
つまりどれか一つのpに関して考慮すればそれ以上は考慮する必要がありませんので、
「考慮すべきものは無限」ということはあり得ません。
No.87723 - 2024/03/11(Mon) 05:25:03
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
少し話が逸れたようです。原点に戻りましょう

>a≧3かつb≧3とすると(左辺)≧18c、(右辺)≦17cなので解なし、よってa=2またはb=2

a≧4かつb≧4で始めたらa=2,3とb=2,3を考慮
a≧5かつb≧5で始めたらa=2,3,4とb=2,3,4を考慮

しなければなりません
No.87724 - 2024/03/11(Mon) 06:06:15
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
朝が来ちゃいましたね

ありがとうございます。
No.87725 - 2024/03/11(Mon) 06:08:59
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
No.87724 - 2024/03/11(Mon) 06:06:15
補足

(考慮すべき),(考慮可能)ではなく

考慮しなければなりません
No.87726 - 2024/03/11(Mon) 06:17:24
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことが示せたら、
「a≧4かつb≧4のとき」
「a≧5かつb≧5のとき」
なども解がないことが自明ですから、
「a≧3かつb≧3」で考えれば「a≧4かつb≧4」や「a≧5かつb≧5」などを
「考慮する必要はありません」。

「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことがわかった場合、
a=2とb=2を考慮する必要があります。
「a≧4かつb≧4のとき解はない」ことがわかった場合、
a=2,3とb=2,3を考慮する必要があります。
「a≧pかつb≧pのとき解はない」ことがわかった場合、
2≦a＜pと2≦b＜pを考慮する必要があります。
これらは当然ですが、
「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことを示す労力
「a≧4かつb≧4のとき解はない」ことを示す労力
「a≧5かつb≧5のとき解はない」ことを示す労力
・・・
は全く同じですから、
その後に示すのがa=2とb=2の二つだけである
「a≧3かつb≧3」について示すのが最も簡潔な解答になります。
No.87727 - 2024/03/11(Mon) 06:42:21
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
長くお付き合い頂きありがとうございます。

「労力」とは、どういう意味ですか

また、

No.87727 - 2024/03/11(Mon) 06:42:21

を答案にするとどの様になりますか
No.87728 - 2024/03/11(Mon) 07:00:16
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
「労力」は、ほぼそれを示すの書く必要のある文字数です。
並べて書いたものは全部全く同じ式で数値が異なるだけですから、
労力は同じですね。

「87727を答案にする」とはどういう意味ですか？
「答案としてa≧3かつb≧3のとき解はないこととa=2とb=2について調べれば十分」
ということを詳しく説明しているだけで、87727は答案ではありません。

一つ質問なのですが、私が87686で書いた最初の解答は「誤り」とお考えですか？
No.87729 - 2024/03/11(Mon) 07:06:16
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
>一つ質問なのですが、私が87686で書いた最初の解答は「誤り」とお考えですか？

以下の記述が無い限り不十分と考えます
-------------------------------------------

「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことがわかった場合、
a=2とb=2を考慮する必要がある
「a≧4かつb≧4のとき解はない」ことがわかった場合、
a=2,3とb=2,3を考慮する必要がある。
「a≧pかつb≧pのとき解はない」ことがわかった場合、
2≦a＜pと2≦b＜pを考慮する必要がある

「a≧3かつb≧3のとき解はない」ことを示す労力
「a≧4かつb≧4のとき解はない」ことを示す労力
「a≧5かつb≧5のとき解はない」ことを示す労力
・・・
は全く同じである
その後に示すのがa=2とb=2の二つだけである

-----------------------------------------------
No.87730 - 2024/03/11(Mon) 07:20:50
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / らすかる
それではもうこれ以上説明しても（今まで説明したことの繰り返しにしかならず）理解して頂くのは無理っぽいので、これで終わりにします。
87686の解答は
a=2かつb=2の場合は「a=2のとき」と「b=2のとき」に含まれる
a=2かつb≧3の場合は「a=2のとき」に含まれる
a≧3かつb=2の場合は「b=2のとき」に含まれる
a≧3かつb≧3の場合は最初の解なしの説明に含まれる
となっていてすべての場合を網羅しており、完全に正しく、不十分な点は何一つありません。
87730で書いてあることは解答には全く不要です。
以後、このスレへの回答は控えさせていただきます。
No.87731 - 2024/03/11(Mon) 07:49:14
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / Nishino (中学２年生)
らすかる先生

最後までお付き合いいただきありがとうございました
No.87732 - 2024/03/11(Mon) 07:55:46
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / 通りすがり

横レス失礼
Nishino氏は、「a≧3かつb≧3」を満たす正の整数(a,b)の集合が、「a≧pかつb≧p (p≧4)」を満たす正の整数(a,b)の集合を含んでいるという集合の包含関係を理解していないように見える。だから、別の集合と考えて、場合分けのようにp≧4に言及しないといけないと考えているのではないか。
　
もしNishino氏が上記のことを理解しているとしたら、上記のこと（集合の包含関係）を自明とするらすかる氏と、自明としてはいけないと考えるNishino氏の間で齟齬が生じているように見える。（私は自明派）
No.87744 - 2024/03/12(Tue) 20:31:10
☆ Re: 整数問題-０7 京都大学過去問 / けんけんぱ
もう一つ横レスです
Nishino氏は中学2年なのですから、まずは学校の先生に質問するのが良いと思います。
ネットの掲示板では、文字だけのやりとりですので、読解力と文章力を必要とします。
見ていると語彙の少ないNishino氏では、どちらもまだ未熟であると言わざるを得ません。
まずは身近な大人に質問をし、ネットの掲示板を利用する際はその大人が質問するようにした方がいいと思いますよ。
No.87746 - 2024/03/12(Tue) 23:07:01