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記事No.87792に関するスレッドです
★ 置換積分か / しのつか
積分の予習をしており、間違った解釈をしたくないので、質問させていただきます。
写真の波線部の変形は置換積分でしょうか。
しかし、定積分の置換積分って積分区間が変わりませんでしたか？
そのままsinθ=tとおくと、cosθ・dθ=dtとして進めているような気がするのですが、それだと積分区間は0〜0だと思います。
しかし写真ではそのまま置換後も0〜2πとして計算していませんか？
それとも私の解釈が違っているのでしょうか。
No.87792 - 2024/03/25(Mon) 13:32:21
☆ Re: 置換積分か / WIZ
cos(θ)^2+sin(θ)^2 = 1という関係式を使って、
cos(θ)^3 = {cos(θ)^2}cos(θ) = {1-sin(θ)^2}cos(θ)と式変形し、

∫[0, 2π]{(1-sin(θ)^2)cos(θ)}dθ = ∫[0, 2π]{cos(θ)}dθ-∫[0, 2π]{(sin(θ)^2)cos(θ)}dθ
と考えて、
(d/dθ)sin(θ) = cos(θ)
(d/dθ){sin(θ)^3} = 3(sin(θ)^2)cos(θ)
から、

∫[0, 2π]{cos(θ)}dθ-∫[0, 2π]{(sin(θ)^2)cos(θ)}dθ = [sin(θ)-(1/3)(sin(θ)^3)]_[0, 2π]
と計算しているだけで、置換はしていないですね。
No.87794 - 2024/03/25(Mon) 13:58:45
☆ Re: 置換積分か / X
横から失礼します。

一般に
∫f(x)dx=F(x)+C
(Cは積分定数)
とするとき、合成関数の微分により
∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C (A)
です。

ご質問の積分は、(A)における
f(x)=1-x^2
g(x)=sinx
の場合に対応しています。
No.87795 - 2024/03/25(Mon) 20:19:48