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記事No.87849に関するスレッドです
★ 複素数 / Nick
解答を確認していただきたいです。
No.87849 - 2024/04/03(Wed) 14:58:25
☆ Re: 複素数 / Nick
解答です
No.87850 - 2024/04/03(Wed) 15:21:43
☆ Re: 複素数 / X
解答に問題はありません。
但し、(3)(a)の解答に冗長な点があります。
場合分けの(ii)(iii)は、まとめて
v≠0のとき
の方がいいでしょう。
No.87855 - 2024/04/03(Wed) 18:08:54
☆ Re: 複素数 / ast
> 解答に問題はありません。
いやいや (a) はまるっきりダメだろ. 所与なのは w じゃなく L なので, 任意の直線 L に対して適当な w が取れるということを言わないと本問 (a) の証明にならない.
# ただし, 本問の置かれた "文脈" で「直線」があらかじめどういう形で与えられているのかを
# 質問者が提示しないため不明なので, 回答者側は厳密には回答しようがない.
## 例えば実数 t を用いて z=α+tβ (通る一点 z=α と方向 β) や z=(t-1)α+tβ (通る二点 z=α,β)
## などで与えられている, とかがあれば (「(t を消して) w を α,β で表す」という話なので) 答案は作れる.
### このへんを (座標平面上の一般論などから) 勝手に設定していい, という話ならば構わないのだが.
# 何にせよ, 論理的には「直線 L に適当な一次変換を施せば軸に平行な直線に写せる」というのの
# 逆をやればいいのだから, それが直線の標準形であること自体はとくに論をまたない気はするが.
No.87857 - 2024/04/03(Wed) 20:23:16
☆ Re: 複素数 / Nick
Xさんありがとうございます。

問題文は原点を通らない直線Lとしか与えられておらず、問題文はこれで全てです。astさんの解答を教えていただきたいです。
No.87858 - 2024/04/03(Wed) 22:29:56
☆ Re: 複素数 / ast
> 問題文はこれで全てです
問題文が "原点を通らない直線" としか述べない (出題者は解答者にはそれだけで伝わるようにあらかじめ教材全体を組み立てているつもりでいる&実際におそらくそうなってる) からこそ, わたしは「問題文」ではなく「文脈」（前後のあるいは解説・模範解答等の文章, ほかの問題や, そもそもその単元の内容, 特にその数学的対象の記述等の扱い方）がどうなってるのかの話をしてる.
# こっちは記述の仕方の例まで挙げているのに, 教材のそれらしい部分にあたるどころか
# まだ「問題文」だけしか頭にないというのでは困る.

他の質問の問題文も再度確認してきたが, あるいは質問者がたとえば円を表すのに |z-α|=r (α:複素数, r>0:実数) の形式を頑なに使わないで x^2+y^2=r^2 のような形式を専ら使うなどを鑑みるに, 直線は「z=x+yi (x,y:実数) としたとき x,y が ax+by+c=0 (a,b,c:実数) を満たす」といった形でその資料のその単元では扱ってるのではないの?

> 解答を教えて
このように話の出発点 (No.87857 のように L:z=(t-1)α+tβ とおいてよいのか, あるいはいま述べたように L: z=x+yi where ax+by+c=0 とおいてよいのか, あるいはもっとほかの形が適正として扱われていてそうでなければ不適切とされてしまうのか etc.) がいくつも考えられてあまりにも不明瞭だから論理的にムリと言ってる. あなたがこの点を解決するのが絶対の大前提.
No.87859 - 2024/04/03(Wed) 22:54:44
☆ Re: 複素数 / ast
まあいいや, 直線を仮に z=x+yi, ax+by+c=0 から始めてよいなら, 「これは二点 (-c/a,0),(0,-c/b) を通るから α:=-c/a, β:-ci/b とおけばこの直線は z=α+t(β-α) (t:実数) とも書けて t=(β-α)/(z-α) が実数 ⇔ (β-α)/(z-α)=((β-α)/(z-α))^- ⇔ (α-β)^- z + (β-α)z^- = -2iIm(αβ^-). (ただし, 複素数 ω に対して, ω^- は ω の複素共軛, Im(ω) は ω の虚部)
だから w:=(i(β-α))^-/(2Im(αβ^-))=(-a+bi)/(2c) ととればよい.」みたいなことをやることになる.
# 計算はいまざっとやっただけで確かめてない (たぶんちょこちょこ間違ってる) し,
# 直線だから "a,b の何れかは 0 でない" とか, ab=0 のときは別に調べるとかもあるだろうが,
# こっちでそれらを細かくケアしたとて, そもそも出発点がちがってるならどうせ無意味にしかならんので,
# そういうのは文脈の確認含めてそっちでやって).
No.87860 - 2024/04/03(Wed) 23:40:03
☆ Re: 複素数 / X
＞＞astさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞Nickさんへ
ごめんなさい。(a)についてはastさんの仰る通り、
Nickさんの方針が間違っています。
(a)についてですが、こんな解答が考えられます。

以下、複素数zに対し
zの共役複素数を\z
zの実部をRe[z]
と表すことにします。

z=x+yi
(x,yは実数)
とすると、条件を満たす直線の方程式は
ax+by+c=0 (A)
(但し、a,b,cは実数、c≠0)
と置くことができる。
ここで
u=a-bi
と置くと
uz+\u\z=2Re[uz]
=ax+by
∴(A)より
uz+\u\z=-c (B)
となるので
u=-cw
となるようにwを取ると、(B)は
(-cw)z+\(-cw)\z=-c
∴c≠0により
wz+\w\z=1
No.87867 - 2024/04/05(Fri) 10:09:41
☆ Re: 複素数 / IT
astさんの回答の一部やXさんの解答と同じことだと思いますが、少し表現を変えてみました。

x,y座標平面で原点を通らない直線の方程式は
ax+by+c=0,(a,b,cは実数で(a,b)≠(0,0),c≠0) と表せる

これを複素平面にあてはめる

zの実部x = (z+z~)/2, zの虚部y=(z-z~)/2i を代入して
a(z+z~)/2 + b(z-z~)/2i +c = 0
整理して ((a/2)-(b/2)i)z+((a/2)+(b/2)i)z~+c=0
c≠0なので　w=((a/2)-(b/2)i)/c とおくと
wz+w~z~+1=0 とできる。

※計算ミス、タイポがあるかも知れません。ご自分で確認してください。

※「複素関数論の要諦」（堀川穎二著　日本評論社）には
「なるべく複素数を実部・虚部にわけて考えることはやめて、必要ならば、複素共役を用いることになれることが非常に重要である。
。これは、複素数を、ふたつの実数からなりたつと思うのではなく、一つの数として考えることを実体化するためである。」
とあります。
一方、同著で複素平面上の直線を論ずる際に、上記のようにいったん実部と虚部に分けて説明してはいます。
複素関数論の入り口では、それも必要になってくるのだと思います。
学校の課題であれば、astさんの言われるように「文脈」にしたがって答案を作成するのが無難だと思いますし、独習であれば、定評のあるテキストによって学習されるのが良いと思います。
No.87871 - 2024/04/06(Sat) 09:34:44
☆ Re: 複素数 / Nick
みなさん大変わかりやすくありがとうございます。とても参考になりました。
No.87872 - 2024/04/06(Sat) 10:25:12
☆ Re: 複素数 / IT
目標は、wz+w~z~+1=0 ではなくて　wz+w~z~=1 でしたね、少し変えれば良いですね。
(b) は、せっかくwz+w~z~=1 の形にしたのですから
x+iy の表現を使わずに議論することが（文脈から）期待されているのでしょうね。
（Nickさんの２行目の１つめの等式から一気に( )( )~ =ww~ に変形するなど）
No.87873 - 2024/04/06(Sat) 10:45:59