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記事No.87909に関するスレッドです
★ (No Subject) / ぴよ
連続投稿すみません。解説がなくて、、
添付画像の解説をお願いします。
回答は2(e-1)になります。
No.87909 - 2024/04/21(Sun) 18:13:55
☆ Re: / X
条件から
f[2](x)=x/(x-1)^2+2
f[3](x)=(x^2)/(x-1)^2+2x+3
f[4](x)=(x^3)/(x-1)^2+2x^2+3x+4
…
f[n](x)={x^(n-1)}/(x-1)^2+2x^(n-2)+3x^(n-3)+…+(n-1)x+n
={x^(n-1)}/(x-1)^2+Σ[k=2〜n]kx^(n-k)

∴f[n](e^(1/n))={e^(1-1/n)}/{e^(1/n)-1}^2
+Σ[k=2〜n]ke^{(n-k)/n}
となるので
f[n](e^(1/n))/n^2={e^(1-1/n)}・{(1/n)/{e^(1/n)-1}}^2
+(1/n)Σ[k=2〜n](k/n)e^(1-k/n)
={e^(1-1/n)}・{(1/n)/{e^(1/n)-1}}^2
+(1/n)Σ[k=1〜n](k/n)e^(1-k/n)-(1/n^2)e^(1-1/n)
∴g(x)=e^xと置くと
lim[n→∞]f[n](e^(1/n))/n^2=e/{g'(0)}^2+∫[0→1]{xe^(1-x)}dx
=e+[-xe^(1-x)][0→1]+∫[0→1]{e^(1-x)}dx
=e-1+(e-1)
=2(e-1)
No.87912 - 2024/04/21(Sun) 20:14:27
☆ Re: / WIZ
> Xさん
計算間違い(漸化式の解釈誤り)をされています。

> f[2](x)=x/(x-1)^2+1
> f[3](x)=(x^2)/(x-1)^2+x+2
> f[4](x)=(x^3)/(x-1)^2+x^2+2x+3
> …
> f[n](x)={x^(n-1)}/(x-1)^2+x^(n-2)+2x^(n-3)+…+(n-2)x+n-1
> ={x^(n-1)}/(x-1)^2+Σ[k=1〜n-1]kx^(n-1-k)

nを正の整数とすれば、e^(1/n) > 1なので、x > 1の場合のみ考えて、x^0 = 1とします。
f[n](x) = x*f[n-1](x)+n, f[1] = 1/(x-1)^2なのだから、

f[2](x) = x/((x-1)^2)+2
f[3](x) = (x^2)/((x-1)^2)+2x+3
f[4](x) = (x^3)/((x-1)^2)+2x^2+3x+4
…
f[n](x) = (x^(n-1))/((x-1)^2)+2x^(n-2)+3x^(n-3)+…+(n-1)x+n
= (x^(n-1))/((x-1)^2)+Σ[k=2, n]{k(x^(n-k))}

以降の計算は精査していませんが、問題文と正解2(e-1)が正しいとすると、
間違った計算から正解に辿り着くとは考えにくいので、
以降の計算にも再度間違いがあり、偶然正解に一致してしまったのではないかと想像します。

失礼しました。
No.87913 - 2024/04/21(Sun) 23:32:21
☆ Re: / WIZ
続きを計算してみました。

f[n](x)
= (x^(n-1))/((x-1)^2)-x^(n-1)+Σ[k=1, n]{k(x^(n-k))}
= (x^(n-1)){1/((x-1)^2)-1}+Σ[k=1, n]{k(x^(n-k))}
= (x^(n-1)){(2x-x^2)/((x-1)^2)}+Σ[k=1, n]{k(x^(n-k))}
= (x^n)(2-x)/((x-1)^2)+Σ[k=1, n]{k(x^(n-k))}

⇒ f[n](e^(1/n))
= (e)(2-e^(1/n))/((e^(1/n)-1)^2)+Σ[k=1, n]{k(e^(1-k/n))}

⇒ f[n](e^(1/n))/(n^2)
= (e)(2-e^(1/n))/{(n(e^(1/n)-1))^2}+(1/n)Σ[k=1, n]{(k/n)(e^(1-k/n))}

n→∞のとき、
n(e^(1/n)-1) = (e^(1/n)-1)/(1/n) = (-1/(n^2))(e^(1/n))/(-1/(n^2)) = 1

(1/n)Σ[k=1, n]{(k/n)(e^(1-k/n))} = ∫[0, 1]{t(e^(1-t))}dt
= e[-(1+t)e^(-t)]_[0, 1] = e{-2e(-1)+e^0} = e-2

以上から、
lim[n→∞]{f[n](e^(1/n))/(n^2)} = e(2-1)/(1^2)+(e-2) = 2(e-1)
となります。
No.87914 - 2024/04/22(Mon) 00:15:35
☆ Re: / X
>>WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>ぴよさんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。
漸化式の右辺の第二項の値を、nのつもりが
n-1として計算していました。
No.87912を直接修正しましたので
再度ご覧下さい。
No.87917 - 2024/04/22(Mon) 16:24:31