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記事No.87919に関するスレッドです
★ ε-N論法について / 某理系大学生
｢an=（n-1)/(n+1)のときlim[n→∞]an=1」となることをε-N論法を使って示せ。という問題についてですが、写真の解説文の青線部の意味がわからないです。
なぜ｢n≧Nとすれば|an-1|<εが成り立つ」ということが言えるのでしょうか？解説お願いします。
No.87919 - 2024/04/24(Wed) 10:56:38
☆ Re: ε-N論法について / WIZ
解説が混乱させる記号の使い方をしていると思います。
「∴n > 2/ε-1が導ける」のnと、「n ≧ Nとすれば」のnは別物ですね。

ε-N論法だから、εに対してNが存在することを示せばよいのだから、

最初からNを自然数として、
|a[N]-1| = |(N-1)/(N+1)-1| = 2/(N+1) < ε
として、
N > 2/ε-1
を導き、

自然数nがn ≧ Nなら、
2/(n+1) ≦ 2/(N+1) < ε
⇒ 2/(n+1) = |(n-1)/(n+1)-1| = |a[n]-1| < ε
が成り立つ

・・・とする方が良かったかもしれません。
No.87920 - 2024/04/24(Wed) 16:49:15
☆ Re: ε-N論法について / ast
# その本の「解説」が丁寧であるのかは確かに疑問は残るのかもしれないが……
そもそも, (試験で言うなら)「ここでは, |a[n]-1|<ε に〜 ∴n>2/ε-1 が導ける」の部分は "計算用紙には書くが答案には書かずあとで用紙ごとゴミ箱遺棄" する部分で, 答案にはそのあとの「どんなに小さな〜」の部分が書かれるべき本番 (ただし論理が繋がるように根拠 "n≥"N ならば |a[n]-1|<2/(n+1)≤2/(N+1)<ε とできる" を「計算用紙に書いた内容」から汲み上げる) という区別を持てるようになるべき, という話では? その意味では「解説」は決して不親切とまで言えるような類いのものではないだろうと感じます.
# 計算用紙に書く自分用のメモと考えると, そこで使う記号にまで細かい注文をつけるのは,
# むしろ奇異な話であるように思える.
No.87930 - 2024/04/26(Fri) 12:25:25