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記事No.87921に関するスレッドです
★ イプシロンエヌ論法 / プレジョン1
イプシロンエヌ論法についてですが、
写真の問題の青全部についてですが、なぜεの範囲を0<ε<2として考えてよいのでしょうか？確かに極限を求める上では写真にも書かれている通りεは限りなく0に近づけることからεの範囲を絞っても問題ないように思えるのですが、εの範囲を絞ることはイプシロンエヌ論法の定義の「任意(全て)のε>0に対して…」と書かれていることに矛盾するのでは？と思いました。なぜεの範囲を定めてよいのかの解説おねがいします。
No.87921 - 2024/04/25(Thu) 23:27:34
☆ Re: イプシロンエヌ論法 / ast
「2≤ε のとき任意の自然数 n に対して 2/(n^2+1)<2≤ε」は自明だから, 問題においてクリティカルなのが 0<ε<2 のときだという話でしょう? これを「範囲を絞った」と表現してもそれはべつに構わないこととは思うが, それを "任意の ε>0 に対し" という原則を破壊するものかのような意図で用いると主張するのであればそれは曲解というべきです.
No.87922 - 2024/04/26(Fri) 00:13:41
☆ Re: イプシロンエヌ論法 / WIZ
そもそも、n^2 > 2/ε-1 ⇒ n > √(2/ε-1)などという変形をしているから
2/ε-1 ≧ 0つまりε≦ 2という条件が必要となり、εの値により場合分け発生しています。

n^2 > |2/ε-1| ≧ 2/ε-1 ⇒ n > √|2/ε-1|
となるようにnを選べば、εの値による場合分けは必要ありませんよね?
それと、上記の記号はnではなくNを使うべきだったと思います。
# 本の解説に文句言っても仕方ないけど。
No.87926 - 2024/04/26(Fri) 10:37:21
☆ Re: イプシロンエヌ論法 / ast
「そもそも論」で言うなら, "ε を大きくとる" ということは "N に対する制約を緩くする" こと (「N に対する制約」というのは "N を十分大きくとる必要がある" ということで, それを緩めるというのは "N は存外小さくとれる" ということ) です.
だから,「"ε をどれほど小さくしてもいい" ことが言えている場面」に至って「ε が大きいときを無視しているのだ」と捉えるのは論法を理解してない何よりの証拠, 本来ならば「したがって, "大きい ε に関しては言わずもがな" であるはずの場面」と認識できなければ.
No.87929 - 2024/04/26(Fri) 11:28:37
☆ Re: イプシロンエヌ論法 / WIZ
astさんのNo.87929の書き込みが私のNo.87926への反論なのかは分かりませんが、
私が「そもそも」を使ったのはεの値で場合分けしなくても済む論理展開ができるということを言いたかったからです。
質問者さんの疑問は、「本ではε< 2の場合だけ解説されていて、任意の正の実数εで成り立つ論理展開になっていない」
点であると思ったからです。

あと、ε-N論法ではεに対してNが存在することが示せれば良い訳で、
Nの値を求めたり、εに対してより小さなNが存在するとか、その様なNが選択できる論理があるとかは関係ないですよね?

私が何か勘違いしていたら申し訳ありません。
No.87935 - 2024/04/26(Fri) 13:16:45
☆ Re: イプシロンエヌ論法 / ast
> 質問者さんの疑問は、「本ではε< 2の場合だけ解説されていて、任意の正の実数εで成り立つ論理展開になっていない」
> 点であると思ったからです。

には同意で, No.87929 は「そもそも」に便乗した補足 (一つの式を無理に使い回さずとも単に大きい ε には N=1 でいいってだけだよね, という話) のつもりだったのだけれど, No.87935 を読む限りだとWIZさんは論理というより式(√の)計算上の都合の排除のほうを優先したというほうが近いようにも読めるので, そうだとしたらある種「反論」のようなものになっていたのかもしれないと感じました. 気に障ったのならすみません.
# いくらNは存在さえすればどんな値でもよいと言っても,
# (この場合は No.87926 のように絶対値を付けても影響はないが)
# 安易に符号だけ変えればよいとすると論理的には除く必要のないものも除く前提で考えてしまうことになりかねないし,
# 除かれたのが偶然なのか必然なのか, 質問者が判断できないのは潜在的な危険を生みかねないと思います.

## |a[n]-1|<ε は a[n] が (先の方では) "1 の近くにある" という定性的な話を
## (n≥N では) "1 の ε-近傍にある" という定量的な話として述べるものなので,
## ε と N との量的関係 (何がどのくらい制約されるか) をどうでもいいものみたいな方向性で見てしまうのは
## ε-N 論法の根幹を損なうと思っている.
### (これは特定の値に拘らなくていいという意味での「どうでもいい」ではない.)
No.87941 - 2024/04/26(Fri) 15:06:57
☆ Re: イプシロンエヌ論法 / 黄桃
下も含めて教えて!gooとのマルチポストで、質問に対する答は出そろっていると思います。そこで、こういう疑問が出る背景を考察してみます。

私は、
高校までの数学では必要十分条件を求めていく、という問題ばかりなのに、ここでは（εに対する)Nの十分条件を求める問題である
ことが大きな理由だと思います。
つまり、この問題なら、
ε>0 を与えて |a[n]-1|<ε となるようなnは何か？
ととらえ、これを必要十分条件で解いて、その答の中で n>N ならOKとなる（ギリギリの）Nを探す、
というような発想になってしまうのです（この参考書の解答は、高校数学に合わせているのか、この発想に近い;だから複雑な式になるとお手上げだと思う）。
この解法だと|a[n]-1|<1をみたすnと|a[n]-1|<2 をみたすnは一般には違うので、必要十分となるNが違うはずなのに、ε<2の場合だけ扱うのは変だ、という感覚になるのでしょう。

実際は、
ε>0 を与えると nがとても大きければその先は必ず |a[n]-1|<ε となることを示せ。
という問題なので、例えば、 「n>10 ⇔ |a[n]-1|<ε」だったとしても、それを n>10000 ならば |a[n]-1[<εとしてもいいという考え方ができないのでしょう。
別の言い方をすれば、εに応じて決まるNは、無限にある（１つあれば、それより大きいものは全部OK）というのが理解できてない（答は１つという信念がある）。

＃こうした解法を載せる参考書は、何も苦労してギリギリのNにしなくてもいい、
＃という注釈も加える必要があるのでは？と外野は思う。

ここで質問されているεについても同様で1つあればそれより大きいεについてはOKと気づけよ、と皆さん言及されているわけですが、発想の転換が必要なので、これで質問者は腑に落ちたかどうか、ちょっと興味があります。
No.87945 - 2024/04/27(Sat) 05:32:52