↓の問題を解いてください！
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No.88081 - 2024/05/18(Sat) 22:23:47
| ☆ Re: 高校数学 極限 / ast | | | # (ケアレスミスの類いがある可能性を除けば) いちおう出来たと思うので書くが……,
# 以下では, "n→∞ のとき (1/1+⋯+1/n)-log(n) → γ >0 (オイラーの定数)" が既知であることを仮定する
# (ので高校範囲とはとても思わん, さすがに胡散臭い).
二項展開 (1-x)^(n+1)=Σ_[j=0,…,n+1] C[n+1,j] (-x)^j から
(1-x)^(n+1)-1 = -(n+1)x Σ_[j=1,…,n+1] (-1)^(j-1) C[n,j-1]/j x^(j-1)
= -(n+1)x Σ_[k=0,…,n] (-1)^k C[n,k]/(k+1) x^k
となり, 簡単のため t:=1-x (⇔ x=1-t) とおけば
(n+1)Σ_[k=0,…,n] (-1)^k C[n,k]/(k+1) x^k
= (1-t^(n+1))/(1-t) = Σ_[i=0,…,n] t^i = 1+t+t^2+⋯+t^n,
したがって ∫_[0,1]x^k dx=∫_[0,1](1-t)^k dt=1/(k+1) に注意すれば
(n+1)Σ_[k=0,…,n] (-1)^k C[n,k]/(k+1)^2
= (n+1)Σ_[k=0,…,n] (-1)^k C[n,k]/(k+1) ∫_[0,1] (1-t)^k dt
= ∫_[0,1] (n+1)Σ_[k=0,…,n] (-1)^k C[n,k]/(k+1) (1-t)^k dt
= ∫_[0,1] (1-t^(n+1))/(1-t) dt = Σ_[i=0,…,n] ∫_[0,1] t^i dt
= Σ_[i=0,…,n] 1/(i+1) = 1/1+⋯+1/(n+1) (=:H_[n+1] :n+1番目の調和数)
が成り立つ. よって
n/log(n) * Σ_[k=0,…,n](-1)^k C[n,k]/(k+1)^2
= n/(n+1) * (log(n+1)+γ)/log(n) * H_[n+1]/(log(n+1)+γ)
→ 1*1*1=1 (as n→∞).
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No.88084 - 2024/05/19(Sun) 12:45:02 |
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