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記事No.88138に関するスレッドです
★ 二次関数　高3 / ふっくら
(3)からの解き方がわかりません。解説お願いします
No.88138 - 2024/05/26(Sun) 23:00:03
☆ Re: 二次関数　高3 / X
(3)
まず、点Qの座標をa,pを用いて表します。
(a)
条件から放物線○2の方程式は
y=ax^2-2apx+(a-1)p^2-2 (A)
∴放物線○1,○2の交点のx座標について
-x^2-2=ax^2-2apx+(a-1)p^2-2
これより
(a+1)x^2-2apx+(a-1)p^2=0
(x-p){(a+1)x-(a-1)p}=0
∴x=p,(a-1)p/(a+1)
ここでa＞0,p＞0から
p-(a-1)p/(a+1)=2p/(a+1)＞0
∴p＞(a-1)p/(a+1)
よって題意を満たすためには
(a-1)p/(a+1)＞0 (B)
条件から、a＞0,p＞0ゆえ、(B)より
1＜a

以下は方針を。
(b)
(a)の過程とS[1]=S[2]から
∫[(a-1)p/(a+1)→p]{-x^2-2-(ax^2-2apx+(a-1)p^2-2)}dx
=∫[0→(a-1)p/(a+1)]{(ax^2-2apx+(a-1)p^2-2)-(-x^2-2)}dx
これより
∫[0→p]{(ax^2-2apx+(a-1)p^2-2)-(-x^2-2)}dx=0
∫[0→p]{(a+1)x^2-2apx+(a-1)p^2}dx=0
左辺の積分を計算すると、pは括り出せます。


(4)
(a)
(b)の結果と(A)から、放物線○2とx座標との交点の座標は
求められますので、後は積分です。
かなり煩雑な計算ですが頑張って下さい。
(積分の下限、上限をα,βとでも置いて、
積分計算後、β-αを括り出すなどの処理をした後で
α,βを元に戻せば、多少計算は楽になります。)

検算として
∫[α→β](x-α)(x-β)dx=-(1/6)(β-α)^3
を使ってもいいでしょう。
こちらの計算では
F=(2/3)(p^2+2)√{2(p^2+2)}
となりました。

(b)
p^2+2=Pと置くと、(a)の結果から
F=(2/3)P√(2P)
∴Fが整数⇒Pは2と9の公倍数
よって…
No.88141 - 2024/05/27(Mon) 00:35:35
☆ Re: 二次関数　高3 / ふっくら
ありがとうございます
No.88143 - 2024/05/28(Tue) 06:17:26