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記事No.88345に関するスレッドです
★ 数珠順列 / カタ
白玉4個、黒玉2個、赤玉2個の合計8個の玉すべてに紐を通して輪を作る方法は何通りあるか。

という問題です。答えも解き方もわかっていません。裏返すと同じになるものの考え方が難しいです。よろしくお願いします。
No.88325 - 2024/07/11(Thu) 15:47:05
☆ Re: 数珠順列 / カタ
自分で考えてみました。

円順列として考えると7！/(4！2！)=105通り。
そのうち添付した画像の並べ方以外の104通りは全て裏返すと同じになるものがある。
だから(105-1)/2+1=53ということで
答えは53通り。

正しいでしょうか?
No.88327 - 2024/07/11(Thu) 23:56:18
☆ Re: 数珠順列 / らすかる
まず円順列が違います。
一列に並べる方法は8!/(4!2!2!)=420通り
このうち180°回転対称であるものは
4!/(2!1!1!)=12通りなので
420-12=408通りは8重複、12通りは4重複となるから
円順列は408/8+12/4=54通り。

そして「裏返して自分自身と同じになるもの」は
対称軸が赤−赤かつ黒−黒
赤白黒白赤白黒白
対称軸が赤−赤
赤白白黒赤黒白白
対称軸が黒−黒
黒白白赤黒赤白白
対称軸が白−白
白白黒赤白赤黒白
白白赤黒白黒赤白
白黒白赤白赤白黒
対称軸が玉の隙間
白白黒赤赤黒白白
白白赤黒黒赤白白
白黒白赤赤白黒白
白赤白黒黒白赤白
白黒赤白白赤黒白
黒白白赤赤白白黒
の12通りですから、数珠順列は
(54-12)/2+12=33通り
となります。
No.88328 - 2024/07/12(Fri) 00:58:06
☆ Re: 数珠順列 / カタ
らすかる様
ご回答ありがとうございます。
理解することができました。
赤玉か黒玉のどちらかが1個だったら、その玉の目線になって円順列を考えられるけど、この問題の場合は8個の玉を１列に並べてみて、４回重複のもの、８回重複のものと分けて考えるのですね。
円順列から数珠順列に考え直すときも対称軸が何になるかで、整理して場合分けするのが重要ですね。
本当にありがとうございました。助かりました。
No.88345 - 2024/07/14(Sun) 13:55:23
☆ Re: 数珠順列 / カタ
８重複はこういうのですね
No.88346 - 2024/07/14(Sun) 13:56:44
☆ Re: 数珠順列 / カタ
裏返すと自分になるもの
No.88347 - 2024/07/14(Sun) 13:58:33
☆ Re: 数珠順列 / らすかる
私の図のない説明だけで理解して頂けたようで、良かったです。
図があるとわかりやすいですね。
No.88348 - 2024/07/14(Sun) 15:39:03