おねがいします。
ベクトルで
△OPQ×1/3×高さ
でいったら計算でつぶれました
できるだけ詳しくお願いします
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No.8835 - 2009/11/12(Thu) 20:41:15
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | (1)
P(-a,b,c),Q(a,-b,c),R(a,b,-c) を通る平面の式は、
x/a+y/b+z/c=1 ・・・(1)
四面体ＴＰＱＲの体積は、4abc/3
(1) と点Ｔ(a,b,c) の距離は、
|a/a+b/b+c/c-1|/√(1/a^2＋1/b^2＋1/c^2)
＝２/√(1/a^2＋1/b^2＋1/c^2)
＝2abc/√(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)
よって、△ＰＱＲの面積は、
4abc/3÷2abc/√(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)×3
＝2√(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)
原点から(1)までの距離は、
1/√(1/a^2＋1/b^2＋1/c^2)
＝abc/√(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)
であるので、四面体ＯＰＱＲの体積は、
Ｖ＝2abc/3
(2)線分ＡＢ上の点を(x,y,z) とすると
(x,y,z)＝(1-t)(0,1,2)＋t(3,0,4)＝(3t,1-t,2+2t) (0＜t＜1)
と書けます。よって
Ｖ＝2・3t(1-t)(2+2t)＝12(t-t^3)
tで微分して、Ｖ’＝12(1-3t^2) であるので、
Ｖは、ｔ＝−1/√3 で極小、ｔ＝1/√3 で極大となり
ｔ＝1/√3 のとき Ｖ＝8/√3
よって、０＜Ｖ≦8/√3
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No.8843 - 2009/11/13(Fri) 23:07:38 |
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