[ 掲示板に戻る ]
記事No.88369に関するスレッドです
★ 数?V・導入付きの積分 / パラジクロロ
置換しようとしても上手くxが消せませんでした。解説よろしくお願いします。
No.88369 - 2024/07/18(Thu) 15:40:20
☆ Re: 数III・導入付きの積分 / ast
> 置換しようとしても
誘導意図は置換積分ではなく部分積分でしょ. つまり, 例えば (sin(x)-xcos(x))^2/x^5 = (sin(x)-xcos(x))/(-2x^2sin(x)) (sin(x)^2/x^2)' だから f(x)=(sin(x)-xcos(x))/(-2x^2sin(x)), g(x)=sin(x)^2/x^2 とでも置くならば
　∫_[π/2,π] (sin(x)-xcos(x))^2/x^5 dx = f(π)g(π)-f(π/2)g(π/2) - ∫_[π/2,π]f'(x)g(x)dx.

まあこれでこの後も計算進めるのならその前に「(1') 函数 y=cos(2x)/x^4 を微分せよ.」あたりを追加したほうがいい気はするが.
No.88371 - 2024/07/18(Thu) 20:54:31
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / パラジクロロ
ありがとうございます。
f'(x)g(x)の積分はどう解くのですか？
No.88375 - 2024/07/18(Thu) 23:21:10
☆ Re: 数III・導入付きの積分 / ast
それは既に書いたつもりですが. 具体的に言えば, f'(x)g(x) の計算結果, および (1') の結果はどうなりましたか?
# 両者は一致はしませんがそれらの差は平易に積分できるものになっているはずです.
# ピンとこないのであればきっと計算間違いでもあるのでしょう.
No.88376 - 2024/07/19(Fri) 01:16:14
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / X
横から失礼します。

(1)は
y'={2(sinx)/x}(xcosx-sinx)/x^2
=2(sinx)(xcosx-sinx)/x^3
として、

(2)の別解)
(与式)=[-(1/5)(1/x^4)(xcosx-sinx)^2][π/2→π]
-(2/5)∫[π/2→π](1/x^4)(xcosx-sinx)・xsinxdx
=(1/5)(16/π^4-1/π^2)-(1/5)∫[π/2→π]{(2sinx)(xcosx-sinx)/x^3}dx
=(1/5)(16/π^4-1/π^2)-(1/5)[{(sinx)/x}^2][π/2→π] (∵)(1)の結果より
=(1/5)(16/π^4-1/π^2)+(1/5)(4/π^2)
=(1/5)(16/π^4+3/π^2)

＞＞astさんへ
そのf(x)の置き方だとf(π)の値は存在しないので、広義積分の扱いになって
高校数学の範囲を外れるのでは？
No.88377 - 2024/07/19(Fri) 02:05:48
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / ast
> f(π)の値は存在しない
f(x)g(x) の x=π における値 f(x)g(x)|_[x=π] を形式的に f(π)g(π) と書いているだけなので, 見かけ上の問題は実際には存在しませんし広義積分ではありません.
No.88378 - 2024/07/19(Fri) 03:39:47
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / X
＞＞astさんへ
失礼しました。その通りですね。
No.88383 - 2024/07/19(Fri) 18:24:15
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / パラジクロロ
なんとかそれっぽいものにはなりました。ありがとうございます。
No.88407 - 2024/07/21(Sun) 20:08:35